Теорема Птолемея

От /

Теорема Птолемея — Тренажёр

Историческая справка

Теорема названа в честь Клавдия Птолемея (ок. 100 – ок. 170 н.э.) — древнегреческого астронома, математика и географа, автора знаменитого труда «Альмагест».

Птолемей использовал эту теорему для построения таблиц хорд — древнего аналога тригонометрических таблиц, необходимых для астрономических расчётов.

Формулировка теоремы

Теорема Птолемея: Если четырёхугольник вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

\[ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC \]

💡 Запоминалка: «Диагонали умножь — получишь сумму произведений противоположных сторон»

Обратная теорема

Если в выпуклом четырёхугольнике выполняется равенство

\[ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC, \]

то его вершины лежат на одной окружности (четырёхугольник вписанный).

⚠️ Важно: Обратная теорема работает только для выпуклых четырёхугольников!

Пример 1. Прямое применение теоремы

В окружность вписан четырёхугольник \(ABCD\). Известно: \(AB = 2\), \(BC = 3\), \(CD = 4\), \(DA = 5\). Найдите произведение диагоналей \(AC \cdot BD\).

Пошаговое решение:

Шаг 1: Проверяем условие теоремы
Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность → теорема Птолемея применима.
Шаг 2: Записываем формулу
\(AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC\)
Шаг 3: Подставляем известные значения
\(AB = 2,\quad BC = 3,\quad CD = 4,\quad DA = 5\)
\(AC \cdot BD = 2 \cdot 4 + 5 \cdot 3 = 8 + 15 = 23\)

Ответ: \(AC \cdot BD = 23\)

Пример 2. Нахождение неизвестной стороны

Вписанный четырёхугольник \(ABCD\): \(AB = 3\), \(BC = 4\), \(CD = 5\), \(DA = x\). Диагонали: \(AC = 6\), \(BD = 7\). Найдите \(x\).

Пошаговое решение:

Шаг 1: Записываем формулу Птолемея
\(AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC\)
Шаг 2: Подставляем известные значения
\(AC = 6,\ BD = 7,\ AB = 3,\ CD = 5,\ BC = 4,\ AD = x\)
\(6 \cdot 7 = 3 \cdot 5 + x \cdot 4\)
Шаг 3: Выполняем вычисления
\(42 = 15 + 4x\)
Шаг 4: Решаем уравнение
\(4x = 42 - 15 = 27\)
\(x = \dfrac{27}{4} = 6.75\)

Ответ: \(x = \dfrac{27}{4} = 6.75\)

Пример 3. Проверка на вписанность (обратная теорема)

Выпуклый четырёхугольник \(ABCD\): \(AB = 5\), \(BC = 5\), \(CD = 5\), \(DA = 5\), \(AC = 5\sqrt{2}\), \(BD = 5\sqrt{2}\). Является ли он вписанным?

Пошаговое решение:

Шаг 1: Вычисляем левую часть равенства
\(AC \cdot BD = 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 25 \cdot 2 = 50\)
Шаг 2: Вычисляем правую часть равенства
\(AB \cdot CD + AD \cdot BC = 5 \cdot 5 + 5 \cdot 5 = 25 + 25 = 50\)
Шаг 3: Сравниваем части
Левая часть = 50, правая часть = 50 → равенство выполняется.
Шаг 4: Делаем вывод
Четырёхугольник выпуклый и выполняется равенство Птолемея → по обратной теореме он вписан в окружность.
(Это квадрат со стороной 5 — действительно вписанный четырёхугольник)

Ответ: Да, четырёхугольник вписанный.

Дополнительно

Скачать

Прокрутить вверх