Мощное соотношение между сторонами треугольника и отрезком, проведённым из вершины к противоположной стороне
Теорема Стюарта
История
Теорема названа в честь шотландского математика Мэттью Стюарта (1717–1785), который опубликовал её в 1746 году.
Теория
В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на стороне \(BC\). Обозначим:
- \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a = x + y\)
- \(BD = x\), \(DC = y\)
- \(AD = p\)
Теорема Стюарта:
\[ b^2 x + c^2 y = a(p^2 + xy) \]
Эквивалентная форма для нахождения \(d\):
\[ p^2 = \frac{b^2 x + c^2 y}{x + y} — xy \]
Важно: Из этой формулы выводятся частные случаи для медианы (\(x = y\)) и биссектрисы (\(\frac{x}{y} = \frac{c}{b}\)).
Типовые задачи
Задача 1: Прямое применение формулы
Условие: В треугольнике \(ABC\): \(BC = 14\), \(AC = 15\), \(AB = 13\). На стороне \(BC\) взята точка \(D\) так, что \(BD = 5\). Найдите \(AD\).
Решение по теореме Стюарта
1. Дано: \(a = 14\), \(b = 15\), \(c = 13\), \(m = BD = 5\), \(n = DC = 14 — 5 = 9\)
2. Применяем формулу: \(d^2 = \dfrac{b^2 m + c^2 n}{m + n} — mn\)
\[ d^2 = \frac{15^2 \cdot 5 + 13^2 \cdot 9}{5 + 9} — 5 \cdot 9 \]
3. Вычисление: \(d^2 = \dfrac{1125 + 1521}{14} — 45 = \dfrac{2646}{14} — 45 = 189 — 45 = 144\)
4. Извлекаем корень: \(d = \sqrt{144} = 12\)
Ответ: \(AD = 12\)
Задача 2: Медиана треугольника
Условие: \(BC = 6\), \(AC = 8\), \(AB = 10\). Найдите медиану \(AE\) к стороне \(BC\).
Решение через теорему Стюарта
1. Для медианы: \(m = n = \dfrac{a}{2} = 3\)
\[ d^2 = \frac{8^2 \cdot 3 + 10^2 \cdot 3}{3 + 3} — 3 \cdot 3 \]
2. Вычисление: \(d^2 = \dfrac{192 + 300}{6} — 9 = 82 — 9 = 73\)
3. \(d = \sqrt{73}\)
Ответ: \(AE = \sqrt{73}\)
Задача 3: Биссектриса треугольника
Условие: \(BC = 9\), \(AC = 12\), \(AB = 15\). Найдите биссектрису \(AD\).
Решение через теорему Стюарта
1. По свойству биссектрисы: \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}\)
2. При \(BD + DC = 9\): \(BD = 5\), \(DC = 4\)
\[ d^2 = \frac{12^2 \cdot 5 + 15^2 \cdot 4}{5 + 4} — 5 \cdot 4 \]
3. Вычисление: \(d^2 = \dfrac{720 + 900}{9} — 20 = 180 — 20 = 160\)
4. \(d = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\)
Ответ: \(AD = 4\sqrt{10}\)
Вывод: Теорема Стюарта — универсальный инструмент для вычисления длины любого отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Применение
Используется в олимпиадных задачах, вычислительной геометрии и инженерных расчётах.