Существует две теоремы. Обе теоремы названы в честь голландского математика Хендрика Ван Обеля (Henricus van Aubel), который в XIX веке опубликовал оба результата (в 1870-х годах).
- Теорема о четырёхугольнике
- Теорема о треугольнике
Теорема 1: о четырехугольнике
Формулировка: Если на сторонах произвольного несамопересекающегося четырёхугольника построить квадраты внешним образом и соединить центры противоположных, то полученные отрезки будут равны и перпендикулярны.
Теорема Ван Обеля описывает соотношение между квадратами, построенными на сторонах четырёхугольника. Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник и построим квадрат вне четырёхугольника на каждой его стороне. Теорема Ван Обеля утверждает, что два отрезка, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и образуют прямые углы друг с другом. Другими словами, центральные точки четырёх квадратов образуют вершины четырёхугольника, вписанного в квадрат. Теорема названа в честь бельгийского математика Хенрикус Хубертус (Анри) Ван Аубель (1830–1906), который опубликовал её в 1878 году.
Отрезки, соединяющие центры квадратов, построенных вне (или внутри) четырёхугольника на двух противоположных сторонах, называются отрезками Ван Обеля. Точки пересечения двух равных и ортогональных отрезков Ван Обеля (построенных при необходимости) называются точками Ван Обеля:[3] первая или внешняя точка Ван Обеля для внешнего построения, вторая или внутренняя точка Ван Обеля для внутреннего построения.
Конфигурация теоремы Ван Обеля имеет ряд важных особенностей, в том числе:
- Точки Ван Обеля — это центры двух описанных вокруг четырёхугольника квадратов.[4]
- Точки Ван Обеля, середины диагоналей четырёхугольника и середины отрезков Ван Обеля лежат на одной окружности.[3]
Теорема 2: о соотношениях в произвольном треугольнике
Формулировка. Пусть AD, ВЕ и СТ — чевианы, пересекающиеся в точке О. Тогда выполняется следующее равенство:
Говоря простыми словами: Отношение, в котором точка пересечения чевиан делит одну из них, равно сумме отношений, в которых две другие чевианы делят соответствующие им стороны.
Связь с другими теоремами
- Теорема Чевы даёт условие, при котором три чевианы пересекаются в одной точке.
- Теорема Менелая касается коллинеарности точек на сторонах (или их продолжениях).
- Теорема Ван Обеля дополняет эти результаты, давая численные соотношения между отрезками чевиан.
| Теорема | Отвечает на вопрос о… | Тип результата |
|---|---|---|
| Чевы | пересечении трёх линий в одной точке | Критерий (произведение отношений = 1) |
| Менелая | размещении трёх точек на одной прямой | Критерий (произведение отношений = 1) |
| Ван Обеля | соотношении длин отрезков чевиан | Численное равенство (сумма отношений) |
Теорема Ван Обеля — тренажёр
Примеры:
0.7, 1.5, 25, 3.3.
Пусть в треугольнике \(ABC\) проведены чевианы \(AD\), \(BE\) и \(CF\), пересекающиеся в одной точке \(P\), где:
\(D \in BC,\ E \in AC,\ F \in AB\). Тогда:
\[ \frac{AP}{PD} = \frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC} \]
Часто сначала требуется найти неизвестное отношение (например, \(\dfrac{AF}{FB}\)) с помощью теоремы Чевы.
Задача: "Разделение земельного участка"
Семья хочет разделить треугольный земельный участок \( ABC \) между тремя детьми, проведя три дороги от вершин к противоположным сторонам, которые пересекаются в одной точке \( P \) — центре участка.
Известно:
• Дорога от \( A \) делит сторону \( BC \) в отношении \( BD:DC = 3:2 \),
• Дорога от \( B \) делит сторону \( AC \) в отношении \( AE:EC = 1:4 \).
Найдите отношение \( \dfrac{AP}{PD} \).
Теорема Чевы: \( \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1 \).
Подставим известные значения:
\( \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1 \Rightarrow 6 \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1 \Rightarrow \dfrac{AF}{FB} = \dfrac{1}{6} \).
\( \dfrac{AP}{PD} = \dfrac{AF}{FB} + \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} \).
Приведём к общему знаменателю:
\( \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12} \approx 0.4167 \approx 0.4 \) (до десятых).
Ответ: \( \boxed{0.4} \)