Теория вероятности: понятия и формулы

Теория вероятностей изучает случайные события и закономерности, возникающие при их массовом повторении.

Теория вероятностей: основные понятия и формулы

📘 Основные понятия теории вероятностей

Случайное событие — факт, который может произойти или не произойти в результате эксперимента.

Типы событий:

Достоверное событие: происходит всегда, обязательно произойдет, например: «выпадение числа от 1 до 6 при броске кубика». \( P(\Omega) = 1 \)
Невозможное событие: никогда не произойдет, например: «выпадение 7 при броске стандартного кубика». \( P(\varnothing) = 0 \)
Случайное событие: может произойти или не произойти, например: «выпадение орла при подбрасывании монеты»
Несовместные события: \( A \cap B = \varnothing \)
Противоположные события: \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \)

Пространство элементарных исходов (\( \Omega \)) — множество всех возможных исходов эксперимента.

Классическое определение вероятности:

\( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{m}{n} \)

где \( |\Omega| = n \) — общее число равновозможных исходов, \( |A| = m \) — число благоприятных исходов

📐 Основные формулы и теоремы

Теорема сложения вероятностей:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B) \)

Для несовместных событий: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \), где \( A \cap B = \varnothing \)

Условная вероятность:

\( P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), где \( P(B) > 0 \)

Вероятность события \( A \) при условии, что событие \( B \) уже произошло

Теорема умножения вероятностей:

Формула	Условия применения
\( P(A) = \frac{m}{n} \)	Исходы равновозможны
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)	\( A \cap B = \varnothing \)
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)	\( A \perp\!\!\!\perp B \)
\( P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)	\( P(B) > 0 \)
\( P(\bar{A}) = 1 — P(A) \)	\( \bar{A} = \Omega \setminus A \)
\( P(A \triangle B) = P(A) + P(B) — 2P(A \cap B) \)	\( A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \)