В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.). Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.
Основная формула, связывающая работу, время и производительность:
A=P⋅t
где:
- A — объем работы (например, «1 работа» или конкретное количество деталей),
- P — производительность (работа в единицу времени),
- t — время выполнения работы.
Основные понятия
- Совместная работа — сумма производительностей.
Основные типы задач
Тип 1. Один работник выполняет работу
Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.
Задание 1
Тип 2. Два объекта работают вместе
Их производительности складываются.
Задание 2
Задание 3
Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?
Решение:
- Производительность станков:
- Первый станок: 20 деталей/час
- Второй станок: 30 деталей/час
- Работа первого станка в одиночку (2 часа): 20 дет./ч×2 ч=40 деталей
- Общая производительность: 20+30=50 деталей/час,
- Совместная работа (3 часа): 50 дет./ч×3 ч=150 деталей
- Общее количество деталей: 40 (первый)+150 (вместе)=190 деталей
Ответ: всего изготовлено 190 деталей.
Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже
Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.
Задание 4
Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?
Решение:
Задание 5
Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?
Решение:
- Производительности: P1=1/10, P2=1/15.
- За 2 часа первый выполнил 2⋅1/10=1/5 работы.
- Осталось 1−1/5=4/5
- Совместная производительность: 1/10+1/15=1/6
- Время на оставшуюся часть: 4/5:1/6=24/5=4,8 часа.
- Общее время: 2+4,8=6,8 часа (или 6 часов 48 минут).
Ответ: 6,8 часа.
Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами
Задание 6
Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?
Решение
Тип 5. Задачи на бассейны и трубы
Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.
Задание 7
Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?
Задание 8
Задание 9
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?
Дано:
- Первая труба пропускает x литров воды в минуту.
- Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.
- Объём резервуара: 480 литров.
- Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая
Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:
Упростим уравнение:
Решим квадратное уравнение:
Ответ:
Первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
Полезные советы
- Всегда определяйте производительность каждого участника.
- Если работают вместе — складывайте производительности.
- Если часть работы сделана заранее — вычитайте ее из общего объема.
- Внимательно следите за единицами измерения (часы/минуты, детали/часть работы).
Задачи
Вариант 1
1. Два рабочих могут выполнить работу за 6 часов. Первый рабочий может выполнить её за 10 часов. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?
2. Бассейн наполняется через две трубы. Первая труба наполняет его за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно?
3. Мастер и ученик вместе выполняют работу за 3 часа. Мастер может сделать её один за 5 часов. За сколько часов выполнит работу ученик?
4. Две бригады вспахивают поле. Первая сделает это за 8 часов, вторая — за 12 часов. Какую часть поля они вспашут за 1 час, работая вместе?
5. Одна машина разгружает вагон за 2 часа, другая — за 3 часа. За сколько часов они разгрузят вагон вместе?
Вариант 2
1. Первая труба наполняет бассейн за 5 часов, вторая — за 7 часов. После часа совместной работы вторая труба была закрыта. За сколько часов наполнится оставшаяся часть бассейна?
2. Два комбайна убирают урожай. Первый работает 4 часа один, затем подключается второй, и вместе они заканчивают работу за 3 часа. Известно, что второй комбайн, работая один, убирает урожай на 6 часов медленнее, чем первый. За сколько часов каждый комбайн убрал бы поле один?
3. Два насоса наполняют бассейн за 4 часа. Если первый работает один 2 часа, а затем второй — 3 часа, то будет заполнено 7/12 бассейна. За сколько часов каждый насос наполнит бассейн в одиночку?
4. Два маляра красят дом. Первый может покрасить его за 6 дней, второй — за 12 дней. Сначала первый работает 2 часа один, потом подключается второй. Сколько всего часов потребуется на покраску дома, если они будут работать вместе после подключения второго маляра? Предполагаем, что маляры обычно работают по 8 часов в день.
5. Две типографии печатают тираж. Первая напечатает его за 10 часов, вторая — за 15 часов. После 2 часов совместной работы первая типография остановилась. За сколько часов вторая закончит печать?
Вариант 3
1. Три трубы наполняют бассейн. Первая и вторая вместе — за 4 часа, вторая и третья — за 6 часов, первая и третья — за 5 часов. За сколько часов наполнит бассейн каждая труба в отдельности?
2. Два экскаватора копают котлован. Если первый работает 2 часа, а потом второй 4 часа, то будет выкопано 40% котлована. Если первый работает 3 часа, а второй 2 часа, то будет 45% котлована. Сколько процентов котлована выкопает каждый экскаватор за 1 час работы?
3. Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?
4. Два строителя кладут кирпич. Первый кладёт 50 кирпичей в час, второй — 70. Вместе они работали 5 часов, затем первый ушёл, а второй дорабатывал ещё 2 часа. Сколько всего кирпичей они положили?
5. Две бригады ремонтируют дорогу. Первая может отремонтировать её за 12 дней, вторая — за 18 дней. После 4 дней совместной работы первая бригада ушла. За сколько дней вторая закончит ремонт?
Источник: https://cervac76.ucoz.ru/matematika/1525-matematika-sbornik_praktich-zadach_po_matemat.pdf
Источник: https://rosuchebnik.ru/upload/iblock/3c5/3c5b943f575df38be77b4dd6bb46866e.pdf