1. Простые проценты (нахождение процента от числа и числа по проценту)
Пример задания: В магазине акция: «При покупке двух товаров — скидка 30% на второй». Покупатель выбрал товары за 500 руб. и 800 руб. Сколько он заплатит?
Решение:
- Первый товар: 500 руб. (без скидки).
- Второй товар со скидкой 30%:
800−800×0,30=800−240=560 руб. - Итого: 500+560=1060 руб.
Ответ: 1060 рублей.
ФИПИ B0DB44. В сентябре 1 кг слив стоил 75 рублей. В октябре сливы подорожали на 40%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?
Ответ
после подорожания в октябре 1 кг слив стоил 105 рублей.
ФИПИ 13094A. В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 10%, во второй — на 25%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1600 рублей?
Ответ
после второго снижения цен чайник стал стоить 1080 рублей.
ФИПИ 3D5B48. Из 2000 выпускников школ города 90% правильно решили задачу №1. Сколько выпускников школ этого города правильно решили задачу №1?
Ответ
Ответ: 1800 выпускников правильно решили задачу №1.
ФИПИ 4AD9F3. В технических вузах собираются учиться 24 выпускника школы. Они составляют 40% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?
Решение
Решение:
- Пусть x — общее количество выпускников в школе.
- 40% выпускников составляют 24 человека.
Это можно записать уравнением: 0.4x=24 - Найдём x: x=24/0.4=60
Ответ: в школе 60 выпускников.
ФИПИ 28D0FF. В начале года число абонентов телефонной компании «Восток» составляло 800 тыс. человек, а в конце года их стало 880 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?
Решение
Решение:
- Начальное число абонентов: 800 тыс. человек.
- Конечное число абонентов: 880 тыс. человек.
- Увеличение числа абонентов:880−800=80 тыс. человек
- Процент увеличения:80800×100%=0,1×100%=10%
Ответ: число абонентов увеличилось на 10%.
ФИПИ D3B1F2. Призёрами городской олимпиады по математике стали 36 учащихся, что составило 6% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
Решение
Решение:
- Пусть xx — количество участников олимпиады.
- 36 учащихся составляют 6% от общего числа участников: 0.06x=36
- Найдём x: x=36/0.06=600
Ответ: в олимпиаде участвовало 600 человек.
ФИПИ 526FFF. Городской бюджет составляет 19 млн рублей, а расходы на одну из его статей составили 15%. Сколько миллионов рублей потрачено на эту статью бюджета?
Решение
Решение:
- Общий бюджет: 19 млн рублей.
- Расходы на статью: 15% от бюджета.
- Чтобы найти сумму, потраченную на статью, умножим общий бюджет на процент: 19×0,15=2,85 млн рублей
Ответ: на эту статью бюджета потрачено 2,85 млн рублей.
ФИПИ DCC109. В начале года число абонентов телефонной компании «Восток» составляло 400 тыс. человек, а в конце года их стало 480 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?
Решение
Начальное число абонентов: 400 тыс. человек.
Конечное число абонентов: 480 тыс. человек.
Увеличение числа абонентов:480−400=80 тыс. человек
Процент увеличения: 80×100%/400=20%
ФИПИ 25307B. В городе 50 000 жителей, причём 20 % из них — пенсионеры. Сколько пенсионеров в этом городе?
Решение
Количество пенсионеров: 50 000×0,20=10 000 человек
ФИПИ 59DD7E. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 19 000 рублей. Какую сумму он получит после уплаты налога на доходы? Ответ дайте в рублях.
ФИПИ C35D71. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена футболки?
ФИПИ 8CDE79. Магазин делает пенсионерам скидку. Батон хлеба стоит в магазине 15 рублей, а пенсионер заплатил за него 14 рублей 40 копеек. Сколько процентов составила скидка для пенсионера?
2. Изменение величины на процент
Пример задания: Число увеличили на 20%, затем уменьшили на 10%. Как изменилось число в процентах?
Решение:
Пусть исходное число x.
- После увеличения на 20%:
x×1,20=1,2x. - Затем уменьшили на 10%:
1,2x×0,90=1,08x. - Изменение: 1,08x−x=0,08x (увеличение на 8%).
Ответ: увеличилось на 8%.
ФИПИ 067644. Призёрами городской олимпиады по математике стали 25 учащихся, что составило 5% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
Ответ
в олимпиаде участвовало 500 человек.
ФИПИ 22F84C. Ежемесячная плата за телефон составляет 250 рублей. В следующем году она увеличится на 2%. Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?
Решение
Решение:
- Текущая ежемесячная плата: 250 рублей.
- Увеличение на 2%: это означает, что плата увеличится на 2% от текущей стоимости.
- Вычислим сумму увеличения: 250⋅0,02=5 рублей
- Новая плата: 250+5=255 рублей
Ответ: в следующем году ежемесячная плата за телефон будет составлять 255 рублей.
ФИПИ 2EAF4C. Из 3000 выпускников школ города 90 % правильно решили задачу № 1. Сколько выпускников школ этого города правильно решили задачу № 1?
Решение
Решение:
- Общее количество выпускников: 3000 человек.
- Процент правильно решивших задачу: 90%.
- Чтобы найти количество выпускников, правильно решивших задачу, умножим общее количество на процент:3000⋅0,90=2700
Ответ: 2700 выпускников правильно решили задачу №1.
ФИПИ A7D44D. Городской бюджет составляет 91 млн рублей, а расходы на одну из его статей составили 20%. Сколько миллионов рублей потрачено на эту статью бюджета?
Решение
Решение:
- Общий бюджет: 91 млн рублей.
- Расходы на статью: 20% от бюджета.
- Чтобы найти сумму, потраченную на статью, умножим общий бюджет на процент:91×0,20=18,2 млн рублей
Ответ: на эту статью бюджета потрачено 18,2 млн рублей.
ФИПИ CD3740. Городской бюджет составляет 80 млн рублей, а расходы на одну из его статей составили 15% бюджета. Сколько миллионов рублей потрачено на эту статью бюджета?
Решение
Решение:
- Общий бюджет: 80 млн рублей.
- Расходы на статью: 15% от бюджета.
- Чтобы найти сумму, потраченную на статью, умножим общий бюджет на процент: 80×0,15=12 млн рублей
Ответ: на эту статью бюджета потрачено 12 млн рублей.
ФИПИ C94D41. В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 15% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 2400 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?
Решение
- Стоимость шкафа: 2400 рублей.
- Стоимость сборки: 15% от стоимости шкафа. 2400×0,15=360 рублей
- Общая стоимость покупки: 2400+360=2760 рублей
Ответ: покупка шкафа вместе со сборкой обойдётся в 2760 рублей.
ФИПИ 0EB30F. Ежемесячная плата за телефон составляет 300 рублей. В следующем году она увеличится на 6 %. Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?
Решение
Текущая ежемесячная плата: 300 рублей.
Увеличение на 6%. Сумма увеличения: 300×0,06=18 рублей
Новая плата: 300+18=318 рублей
3. Задачи на банковские расчеты (простые и сложные проценты)
Пример задания (простой процент): Вкладчик положил в банк 20 000 руб. под 6% годовых. Какая сумма будет через 2 года?
Решение:
- Проценты за 2 года:
20000×0,06×2=2400 руб. - Итоговая сумма:
20000+2400=22400 руб.
Ответ: 22 400 рублей.
Пример задания (сложный процент): Банк начисляет 5% годовых на вклад. Какой будет сумма через 3 года, если вкладчик внес 10 000 руб.?
Решение:
Формула сложных процентов:
S=P×(1+100r)n,
где P=10000, r=5%, n=3.
S=10000×1,053≈10000×1,1576=11576 руб.
Ответ: ≈11 576 рублей.
ФИПИ D92D49. Банк начисляет на срочный вклад 12% годовых. Вкладчик положил на счёт 3000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?
Решение
Решение:
- Начальная сумма вклада: 3000 рублей.
- Годовая процентная ставка: 12%.
- Через год банк начислит проценты:3000⋅0,12=360 рублей
- Общая сумма на счёте через год:3000+360=3360 рублей
Ответ: через год на счёте будет 3360 рублей.
ФИПИ F8030C. Банк начисляет на срочный вклад 11% годовых. Вкладчик положил на счёт 4000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?
Решение
Решение:
Итоговая сумма через год:4000+440=4440 рублей
Начальная сумма вклада: 4000 рублей.
Годовая процентная ставка: 11%.
Через год сумма вклада увеличится на 11%.
Начисленные проценты :4000×0,11=440 рублей
ФИПИ 3A590C. Банк начисляет на срочный вклад 7 % годовых. Вкладчик положил на счёт 3000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, проводиться не будет?
Ответ
3210
4. Задачи на скидки и наценки
Пример задания: Магазин закупает цветы по 150 руб. за штуку и продает с наценкой 40%. Сколько будет стоить букет из 5 цветов?
Решение:
- Цена с наценкой:
150×1,40=210 руб. за цветок. - Стоимость букета:
210×5=1050 руб.
Ответ: 1050 рублей.
ФИПИ 4FF344. Поступивший в продажу в сентябре мобильный телефон стоил 2400 рублей. В октябре он стал стоить 1320 рублей. На сколько процентов снизилась цена мобильного телефона в период с сентября по октябрь?
Ответ
цена мобильного телефона снизилась на 45%.
ФИПИ 014241. Пачка сливочного масла стоит 75 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 20%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?
Ответ
пачка масла для пенсионера стоит 60 рублей.
ФИПИ 3B6B4F. Поступивший в продажу в июне мобильный телефон стоил 1800 рублей. В октябре он стал стоить 1260 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с июня по октябрь?
ОТвет
Ответ: цена снизилась на 30%.
ФИПИ 3D7646. Набор полотенец, который стоил 200 рублей, продаётся со скидкой 13%. Сколько рублей стоят два набора полотенец со скидкой?
Решение
Решение:
- Стоимость одного набора без скидки: 200 рублей.
- Скидка: 13%.
- Стоимость одного набора со скидкой:
- Сумма скидки: 200×0,13=26 рублей.
- Цена со скидкой: 200−26=174 рубля.
- Стоимость двух наборов:2×174=348 рублей
Ответ: два набора полотенец со скидкой стоят 348 рублей.
ФИПИ B8B7F5. Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 2800 рублей. В сентябре он стал стоить 2520 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с февраля по сентябрь?
Решение
Решение:
- Цена в феврале: 2800 рублей.
- Цена в сентябре: 2520 рублей.
- Снижение цены:2800−2520=280 рублей
- Процент снижения:2802800×100%=0,1×100%=10%
Ответ: цена снизилась на 10%.
ФИПИ C95AF8. Поступивший в продажу в апреле мобильный телефон стоил 2800 рублей. В мае он стал стоить 1820 рублей. На сколько процентов снизилась цена мобильного телефона в период с апреля по май?
Решение
Решение:
- Цена в апреле: 2800 рублей.
- Цена в мае: 1820 рублей.
- Снижение цены:2800−1820=980 рублей
- Процент снижения:9802800×100%=0,35×100%=35%
Ответ: цена снизилась на 35%.
ФИПИ 779D07. Поступивший в продажу в апреле мобильный телефон стоил 4400 рублей. В августе он стал стоить 3080 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с апреля по август?
Решение
Начальная цена телефона в апреле: 4400 рублей.
Конечная цена в августе: 3080 рублей.
Снижение цены: 4400−3080=1320 рублей
Процент снижения: 1320/4400×100%=30/100×100%=30%
ФИПИ 155C0F. Цена на электрический чайник была повышена на 25 % и составила 1500 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Решение
Пусть исходная цена чайника — x рублей.
После повышения на 25% цена стала: x+0.25x=1.25x
По условию новая цена равна 1500 рублей:1.25x=1500
Находим x: x=1500/1.25=1200
ФИПИ AE2F0E. После уценки телевизора его новая цена составила 0,96 от старой цены. На сколько процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?
Ответ
На 4%
ФИПИ 8BD702. Цена на электрический чайник была повышена на 10 % и составила 1980 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Ответ
1800 рублей
5. Задачи на концентрацию и смеси (косвенно связанные с процентами)
Пример задания: В растворе содержится 15% соли. Сколько килограммов соли в 8 кг такого раствора?
Решение:
8×0,15=1,2 кг.
Ответ: 1,2 кг.
ФИПИ 4E3141. Для приготовления фарша взяли говядину и баранину в отношении 7 : 3 соответственно. Какой процент в фарше составляет баранина?
Ответ
баранина составляет 30% фарша.
ФИПИ 76A0FB. Смешали 4 кг 40-процентного раствора вещества с 10 кг 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение
Решение:
- Найдем массу чистого вещества в первом растворе (4 кг 40%):4×0,40=1,6 кг
- Найдем массу чистого вещества во втором растворе (10 кг 5%):10×0,05=0,5 кг
- Общая масса смеси:4+10=14 кг
- Общая масса чистого вещества:1,6+0,5=2,1 кг
- Концентрация получившегося раствора: 2,114×100%=0,15×100%=15%
Ответ: концентрация получившегося раствора составляет 15%.