Иррациональные неравенства — неравенства, содержащие переменную под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень. Решение таких неравенств требует особого подхода, учитывающего область допустимых значений (ОДЗ) и свойства иррациональных выражений.
Рассмотрим 8 типов с примерами и графиками
Иррациональные неравенства
8 типов с решениями и графиками
Советы:
• Всегда начинайте с ОДЗ.
• Не возводите в квадрат без проверки знака правой части.
• Для \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) — разбивайте на случаи.
• Используйте МЗМ для упрощения.
• Всегда начинайте с ОДЗ.
• Не возводите в квадрат без проверки знака правой части.
• Для \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) — разбивайте на случаи.
• Используйте МЗМ для упрощения.
Метод замены множителей (МЗМ)
• \(\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)} \vee 0 \ \Rightarrow\ f(x) - g(x) \vee 0\) при \(f(x) \geq 0, g(x) \geq 0\)
• \(\sqrt{f(x)} - a \vee 0 \ \Rightarrow\ f(x) - a^2 \vee 0\) при \(a \geq 0\)
• \(\sqrt{f(x)} - a \vee 0 \ \Rightarrow\ f(x) - a^2 \vee 0\) при \(a \geq 0\)
Пример:
\(\dfrac{\sqrt{x^2 - 4} - \sqrt{x - 2}}{x - 3} > 0\)
1. ОДЗ: \(x \geq 2,\ x \ne 3\)
2. Замена: числитель \(\sim (x^2 - 4) - (x - 2) = x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\)
3. Неравенство: \(\dfrac{(x - 2)(x + 1)}{x - 3} > 0\)
4. Метод интервалов → решение: \(x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)\)
Ответ: \(x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)\)
Дополнительно
- Источник: ссылка
- Источник: ссылка
- Источник: ссылка
- Источник: ссылка
- Источник: ссылка