Трапеция — 5 — онлайн-курсы с практическими навыками

Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24…..Найдите высоту трапеции.

Высота равнобедренной трапеции

▱

Равнобедренная трапеция с основаниями \( a \) и \( b \)

📏

Основания: \( a = 45 \), \( b = 24 \)

∠

Тангенс острого угла: \( \tan \alpha = \frac{2}{7} \)

🎯

Найти: высоту трапеции \( h \)

Теория

Равнобедренная трапеция

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, углы при каждом основании равны.

Если опустить две высоты из вершин меньшего основания на большее основание, они отсекут равные отрезки:

\[ \text{Проекция боковой стороны} = \frac{a — b}{2} \]

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике

\[ \tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

Пусть \( a = 45 \) — большее основание, \( b = 24 \) — меньшее основание.

Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Они разобьют большее основание на три части:

\[ a = b + 2x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a — b}{2} \]

где \( x \) — проекция боковой стороны на большее основание.

\[ x = \frac{45 — 24}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), проекцией боковой стороны \( x \) и самой боковой стороной.

В этом треугольнике острый угол \( \alpha \) при большем основании имеет тангенс:

\[ \tan \alpha = \frac{h}{x} \]

По условию \( \tan \alpha = \frac{2}{7} \).

Подставляем известные значения:

\[ \frac{h}{x} = \frac{2}{7} \]

\[ \frac{h}{10.5} = \frac{2}{7} \]

Решаем уравнение относительно \( h \):

\[ h = 10.5 \cdot \frac{2}{7} = \frac{10.5 \cdot 2}{7} \]

\[ h = \frac{21}{7} = 3 \]

Можно также решить в дробях без десятичных:

\[ x = \frac{45 — 24}{2} = \frac{21}{2} \]

\[ h = x \cdot \tan \alpha = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 7} = \frac{21}{7} = 3 \]

Высота трапеции:

\( 3 \)