Трапеция — 7

От /

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции
▱
Равнобедренная трапеция \( ABCD \)
📏
Боковая сторона равна меньшему основанию: \( AB = BC = CD \)
∠
Угол при основании \( \angle BAD = 60^\circ \)
↔️
Большее основание \( AD = 28 \)
🎯
Найти: радиус описанной окружности

Теория

Свойство вписанного угла

Если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то он является прямым (\(90^\circ\)). И обратно: если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр.

\[ \text{Если } \angle ABC = 90^\circ \text{, то } AC \text{ — диаметр} \]

Свойства равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции:

  • Боковые стороны равны: \( AB = CD \)
  • Углы при каждом основании равны: \( \angle BAD = \angle CDA \), \( \angle ABC = \angle BCD \)
  • Диагонали равны: \( AC = BD \)

Накрест лежащие углы

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то накрест лежащие углы равны.

\[ \text{Если } BC \parallel AD, \text{ то } \angle CBD = \angle BDA \]

Сумма углов треугольника

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Решение

1

Проведем диагональ \( BD \) в трапеции \( ABCD \).

Рассмотрим треугольник \( BCD \). По условию \( BC = CD \), значит треугольник \( BCD \) — равнобедренный.

\[ \angle CBD = \angle CDB \quad \text{(углы при основании)} \]
2

Так как \( BC \parallel AD \) (основания трапеции параллельны), то накрест лежащие углы равны:

\[ \angle CBD = \angle BDA \]

Следовательно:

\[ \angle CDB = \angle BDA \]

Это означает, что \( BD \) — биссектриса угла \( ADC \).

3

В равнобедренной трапеции углы при основании равны:

\[ \angle BAD = \angle CDA = 60^\circ \]

Так как \( BD \) — биссектриса угла \( ADC = 60^\circ \), получаем:

\[ \angle CDB = \angle BDA = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]
4

Теперь рассмотрим треугольник \( ABD \). В нём известны два угла:

\[ \angle BAD = 60^\circ, \quad \angle BDA = 30^\circ \]

Находим третий угол:

\[ \angle ABD = 180^\circ — 60^\circ — 30^\circ = 90^\circ \]
5

В треугольнике \( ABD \) угол \( ABD = 90^\circ \) — прямой.

Согласно теореме о вписанном угле: если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр.

Угол \( ABD \) вписан в окружность, описанную около трапеции \( ABCD \), и опирается на сторону \( AD \).

\[ \text{Следовательно, } AD \text{ — диаметр описанной окружности} \]
6

По условию \( AD = 28 \), это диаметр окружности. Находим радиус:

\[ R = \frac{AD}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]
Радиус описанной окружности:
\( 14 \)
Прокрутить вверх