Сколько существует различных треугольников, у каждого из которых длины сторон принимают одно из значений – 5, 6, 7, 8?
Интерпретация задачи
Задача: Дан набор чисел (длины сторон). Сколько различных треугольников можно составить, используя эти числа как длины сторон?
Условие: Каждое число из набора можно использовать столько раз, сколько оно встречается в наборе.
Важно: Тройка (a, b, c) образует треугольник, если выполняется неравенство треугольника: a + b > c (при a ≤ b ≤ c).
Теория
Неравенство треугольника
Три отрезка могут образовать треугольник тогда и только тогда, когда длина наибольшего отрезка строго меньше суммы длин двух других отрезков.
Для сторон a ≤ b ≤ c должно выполняться:
a + b > c (СТРОГОЕ неравенство!)
a + b > c (СТРОГОЕ неравенство!)
Внимание!
Если a + b = c, это не треугольник, а вырожденный случай (точки лежат на одной прямой).
Если a + b = c, это не треугольник, а вырожденный случай (точки лежат на одной прямой).
Учёт частоты элементов
Если в наборе есть повторяющиеся элементы, их можно использовать соответствующее количество раз.
Пример: {2, 2, 3, 4}
• 2 можно использовать 2 раза → допустимы (2,2,3), (2,2,4)
• 3 можно использовать 1 раз → не допустимо (3,3,4)
• 4 можно использовать 1 раз → не допустимо (4,4,4)
• (2,2,4) допустима по частотам, но 2+2=4 ⇒ не треугольник
• 2 можно использовать 2 раза → допустимы (2,2,3), (2,2,4)
• 3 можно использовать 1 раз → не допустимо (3,3,4)
• 4 можно использовать 1 раз → не допустимо (4,4,4)
• (2,2,4) допустима по частотам, но 2+2=4 ⇒ не треугольник
Правильные ответы для примеров:
Пример 1: [5,6,7,8,9]
Все значения уникальны.
Треугольников: 10
Все значения уникальны.
Треугольников: 10
Пример 2: [3,4,5,6,7]
Все значения уникальны.
Треугольников: 9
Все значения уникальны.
Треугольников: 9
Пример 3: [1,10,10]
10 встречается 2 раза.
Треугольников: 1 (только 1,10,10)
10 встречается 2 раза.
Треугольников: 1 (только 1,10,10)
Пример 4: [2,2,3,4]
2 встречается 2 раза.
Треугольников: 2 ((2,2,3) и (2,3,4))
Примечание: (2,2,4) не треугольник, т.к. 2+2=4
2 встречается 2 раза.
Треугольников: 2 ((2,2,3) и (2,3,4))
Примечание: (2,2,4) не треугольник, т.к. 2+2=4
Пример 5: [2,3,4,5]
Все значения уникальны.
Треугольников: 3 ((2,3,4), (2,4,5), (3,4,5))
Все значения уникальны.
Треугольников: 3 ((2,3,4), (2,4,5), (3,4,5))
Контрпример: [2,2,4]
• (2,2,4) допустима по частотам, но 2 + 2 = 4
• Треугольников: 0 (вырожденный случай)
• (2,2,4) допустима по частотам, но 2 + 2 = 4
• Треугольников: 0 (вырожденный случай)
Калькулятор
Результат:
0
Уникальных
0
Всего
0
Всех троек
0
Треугольников
0
Не треугольников