1. Интерактивная модель
Перетащите центр O или точку A на окружности, чтобы изменить радиус и положение.
Перетащи O или A!
Текущие параметры:
Радиус: r = —
Диаметр: d = —
Длина окружности: C = —
Площадь круга: S = —
Радиус: r = —
Диаметр: d = —
Длина окружности: C = —
Площадь круга: S = —
2. Элементы окружности
🔵 Центр и радиус
- Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от центра.
- Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
- Радиус (r) — отрезок от центра до любой точки окружности.
- Диаметр (d) — хорда, проходящая через центр; \(d = 2r\).
🔵 Хорда, дуга, сектор
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Дуга — часть окружности между двумя точками.
- Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
- Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
Длина дуги: \(l = r \theta\) (в радианах) или \(l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}\) (в градусах)
Площадь сектора: \(S = \frac{1}{2} r^2 \theta\) или \(S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}\)
🔵 Касательная и секущая
- Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
- Касательная **перпендикулярна радиусу** в точке касания.
- Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.
3. Основные теоремы
📐 Центральный и вписанный углы
- Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его мера равна градусной мере дуги.
- Вписанный угол — угол с вершиной на окружности. Его мера в два раза меньше дуги, на которую он опирается:
\[
\angle ABC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC}
\]
Следствие: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
📐 Теорема о касательной
Квадрат длины касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть:
\[
PT^2 = PA \cdot PB
\]
где \(PT\) — касательная, \(PAB\) — секущая.
📐 Теорема о пересекающихся хордах
Если две хорды пересекаются в точке внутри окружности, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:
\[
AE \cdot EC = BE \cdot ED
\]
📐 Теорема о секущих
Если из точки вне окружности проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно аналогичному произведению для другой:
\[
PA \cdot PB = PC \cdot PD
\]
4. Основные формулы
| Понятие | Формула |
|---|---|
| Длина окружности | \(C = 2\pi r = \pi d\) |
| Площадь круга | \(S = \pi r^2\) |
| Длина дуги (°) | \(l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}\) |
| Площадь сектора (°) | \(S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}\) |
| Площадь кольца | \(S = \pi (R^2 - r^2)\) |
5. Где применяется?
- Инженерия: колёса, шестерни, подшипники.
- Строительство: арки, купола, круглые здания.
- Физика: движение по окружности, центробежная сила.
- Геодезия: топография, картография.
- Дизайн: логотипы, узоры, композиция.