1. Интерактивная модель
Перетащите любую вершину параллелограмма. Противоположные стороны всегда остаются параллельными.
Перетащи A, B, C или D!
Текущие параметры:
Стороны: AB = —, BC = —, CD = —, DA = —
Углы: ∠A = —°, ∠B = —°, ∠C = —°, ∠D = —°
Диагонали: AC = —, BD = —
Площадь: —
Тип: —
AB ∥ CD и AD ∥ BC всегда!
Стороны: AB = —, BC = —, CD = —, DA = —
Углы: ∠A = —°, ∠B = —°, ∠C = —°, ∠D = —°
Диагонали: AC = —, BD = —
Площадь: —
Тип: —
AB ∥ CD и AD ∥ BC всегда!
2. Свойства параллелограмма
📐 Основные свойства
- Противоположные стороны параллельны и равны: \(AB \parallel CD\), \(AD \parallel BC\), \(AB = CD\), \(AD = BC\)
- Противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\)
- Сумма углов при одной стороне = 180°: \(\angle A + \angle B = 180^\circ\)
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: \(AO = OC\), \(BO = OD\)
- Сумма квадратов диагоналей: \(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\)
🔍 Признаки параллелограмма
Четырёхугольник — параллелограмм, если выполняется одно из условий:
- Две противоположные стороны равны и параллельны.
- Обе пары противоположных сторон равны.
- Диагонали делятся пополам.
- Противоположные углы равны.
- Сумма углов при каждой стороне 180°.
3. Частные случаи параллелограмма
| Фигура | Дополнительные свойства |
|---|---|
| Ромб | Все стороны равны. Диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов. |
| Прямоугольник | Все углы прямые (90°). Диагонали равны. |
| Квадрат | Все стороны равны, все углы 90°. Диагонали равны, перпендикулярны, делят углы пополам. |
4. Формулы
📐 Периметр и площадь
- Периметр: \(P = 2(a + b)\), где \(a\) и \(b\) — смежные стороны
- Площадь:
- Через основание и высоту: \(S = a \cdot h_a\)
- Через две стороны и угол: \(S = ab \sin \alpha\)
- Через диагонали и угол между ними: \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi\)
📐 Диагонали
Длины диагоналей можно найти по теореме косинусов:
\[
d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta
\]
\[
d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta
\]
где \(\theta = \angle A\).
5. Где применяется?
- Архитектура: фасады, оконные рамы, решётки.
- Строительство: раскладка плитки, стропильные системы.
- Механика: параллелограмм Ватта — механизм для преобразования движения.
- Дизайн: композиция, трансформация форм.
- Компьютерная графика: текстурное наложение, аффинные преобразования.