1. Интерактивная модель
Перетащите вершины A, B или C. Изучайте стороны, углы, тип, площадь и среднюю линию в реальном времени.
Перетащи вершины!
Текущие параметры:
Стороны: AB = —, BC = —, CA = —
Углы: ∠A = —°, ∠B = —°, ∠C = —°
Тип: —
Площадь: —
Средняя линия: —
Стороны: AB = —, BC = —, CA = —
Углы: ∠A = —°, ∠B = —°, ∠C = —°
Тип: —
Площадь: —
Средняя линия: —
2. Виды треугольников
| Классификация | Тип | Свойства |
|---|---|---|
| По углам | Остроугольный | Все углы < 90°; все замечательные точки — внутри. |
| Прямоугольный | Один угол = 90°. Гипотенуза — самая длинная сторона. Центр описанной окружности — в середине гипотенузы. | |
| Тупоугольный | Один угол > 90°. Ортоцентр и центр описанной окружности — вне треугольника. | |
| По сторонам | Равносторонний | Все стороны и углы (60°) равны. Все замечательные точки совпадают в одной точке. |
| Равнобедренный | Две стороны равны ⇒ углы при основании равны. Высота к основанию — медиана и биссектриса. | |
| Разносторонний | Все стороны и углы разные. |
3. Основные элементы
📐 Медиана
Отрезок из вершины к середине противоположной стороны.
- Делит треугольник на два равновеликих.
- Три медианы пересекаются в центроиде (точка масс).
- Центроид делит каждую медиану в отношении \(2:1\).
📏 Биссектриса
Луч, делящий угол пополам.
- Делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам:
- Три биссектрисы пересекаются в инцентре — центре вписанной окружности.
\(\displaystyle \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{AC}\)
📏 Высота
Перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
- Используется для вычисления площади: \(S = \frac{1}{2} a h_a\)
- Три высоты (или их продолжения) пересекаются в ортоцентре.
📏 Серединный перпендикуляр
Перпендикуляр к стороне в её середине.
- Любая точка на нём равноудалена от концов стороны.
- Три серединных перпендикуляра пересекаются в центре описанной окружности.
📏 Средняя линия
Соединяет середины двух сторон.
- Параллельна третьей стороне и равна её половине:
- Делит треугольник на подобные части с коэффициентом \(1:2\).
\(MN \parallel BC, \quad MN = \frac{1}{2} BC\)
4. Замечательные точки
| Точка | Определение | Свойства |
|---|---|---|
| Центроид (G) | Пересечение медиан | Центр масс; делит медианы 2:1 |
| Инцентр (I) | Пересечение биссектрис | Центр вписанной окружности; равноудалён от сторон |
| Ортоцентр (H) | Пересечение высот | Внутри — у остроугольного, вне — у тупоугольного |
| Центр описанной окружности (O) | Пересечение серединных перпендикуляров | Равноудалён от вершин; на гипотенузе — у прямоугольного |
5. Формулы
📐 Периметр и площадь
- Периметр: \(P = a + b + c\)
- Площадь:
- Через основание и высоту: \(S = \frac{1}{2} a h_a\)
- Через две стороны и угол: \(S = \frac{1}{2} ab \sin C\)
- Формула Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p = \frac{P}{2}\)
- Через описанную окружность: \(S = \frac{abc}{4R}\)
- Через вписанную окружность: \(S = p r\)
📐 Базовые теоремы
- Теорема Пифагора (прямоугольный \(C = 90^\circ\)): \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Теорема синусов: \(\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)
- Теорема косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)
- Сумма углов: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\)
- Неравенство треугольника: \(a + b > c\), \(b + c > a\), \(c + a > b\)
📐 Дополнительно
- Теорема Чевы (чевианы пересекаются в одной точке):
\(\displaystyle \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1\) - Теорема Менелая (точки на одной прямой):
\(\displaystyle \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = -1\) - Теорема Ван Обеля:
\(\displaystyle \frac{AO}{OA_1} = \frac{AB_1}{B_1C} + \frac{AC_1}{C_1B}\)
6. Где применяется?
Знания о треугольниках используются в:
- Строительстве: расчёт нагрузок, стропильных систем.
- Навигации: триангуляция, GPS.
- Компьютерной графике: 3D-моделирование, полигональные сетки.
- Физике: разложение сил, векторы.
- Архитектуре: устойчивость конструкций (треугольные фермы).