Тригонометрия: базовые понятия 

Тригонометрический тренажер

Тригонометрия: базовые понятия

1. Основные определения и тригонометрический круг
Определение: Тригонометрические функции определяются на единичной окружности — окружности радиуса 1 с центром в начале координат.
Синус угла α — ордината точки пересечения луча, образующего угол α с положительным направлением оси OX, с единичной окружностью:
$\sin \alpha = y$
Косинус угла α — абсцисса точки пересечения:
$\cos \alpha = x$
Тангенс угла α — отношение синуса к косинусу:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$
Котангенс угла α — отношение косинуса к синусу:
$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$
Важно:
  • Радианная мера: $180^\circ = \pi$ радиан
  • $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан
  • $1$ радиан = $\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ$
  • Один полный оборот = $360^\circ = 2\pi$ рад
Свойства единичной окружности:
  • Координаты любой точки: $(\cos\alpha, \sin\alpha)$
  • Длина окружности: $2\pi$
  • Площадь круга: $\pi$
  • Теорема Пифагора: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
2. Основные тригонометрические формулы и тождества
Основные тригонометрические тождества:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
Формулы сложения и вычитания:
$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$
$\cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}$
Частные случаи:
$\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$
$\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$
3. Формулы двойного, тройного и половинного углов
Формулы двойного угла:
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$
$\cot 2\alpha = \frac{\cot^2 \alpha - 1}{2\cot \alpha}$
Формулы тройного угла:
$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$
$\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$
$\tan 3\alpha = \frac{3\tan\alpha - \tan^3\alpha}{1 - 3\tan^2\alpha}$
Формулы половинного угла:
$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$
$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$
$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$
$\sin \alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}}$
$\cos \alpha = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}}$
4. Преобразование сумм и произведений
Преобразование суммы в произведение:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\tan \alpha \pm \tan \beta = \frac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$
Преобразование произведения в сумму:
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$
5. Формулы приведения и свойства функций
Мнемоническое правило для формул приведения:
  • Если аргумент имеет вид $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$, функция меняется на кофункцию
  • Если аргумент имеет вид $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$, функция не меняется
  • Знак определяется по исходной функции в соответствующей четверти
Основные формулы приведения:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$
$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$
$\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$
$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$
Свойства тригонометрических функций:
Четность:
$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (нечетная)
$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (четная)
Периодичность:
$\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin\alpha$
$\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos\alpha$
Знаки по четвертям:
I: все +
II: sin+
III: tan+
IV: cos+
6. Тригонометрические уравнения
Простейшие уравнения:
$\sin x = a \ (|a| \leq 1) \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$
$\cos x = a \ (|a| \leq 1) \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n$
$\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + \pi n$
$\cot x = a \Rightarrow x = \text{arccot } a + \pi n$
Однородные уравнения:
  • $a\sin x + b\cos x = 0$ — делим на $\cos x$
  • $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ — делим на $\cos^2 x$
Методы решения:
  1. Разложение на множители
  2. Введение вспомогательного угла: $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$
  3. Универсальная тригонометрическая подстановка
  4. Использование формул понижения степени
  5. Метод оценки (при ограниченности функций)
7. Тригонометрические неравенства
Основные неравенства:
$\sin x > a \Rightarrow \arcsin a + 2\pi n < x < \pi - \arcsin a + 2\pi n$
$\cos x > a \Rightarrow -\arccos a + 2\pi n < x < \arccos a + 2\pi n$
$\tan x > a \Rightarrow \arctan a + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$
$\cot x > a \Rightarrow \pi n < x < \text{arccot } a + \pi n$
Алгоритм решения неравенств:
  1. Найти ОДЗ
  2. Свести к простейшему виду
  3. Решить на единичной окружности или графически
  4. Учесть периодичность
  5. Записать ответ в виде промежутков

📊 Единичная окружность и таблицы значений

Основные значения функций
Угол 0° (0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2)
sin 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1
cos 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0
tan 0 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 1 $\sqrt{3}$ ∄
cot ∄ $\sqrt{3}$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 0
Основные значения функций
Угол 120° (2π/3) 135° (3π/4) 150° (5π/6) 180° (π)
sin $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0
cos $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ -1
tan $-\sqrt{3}$ -1 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 0
cot $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ -1 $-\sqrt{3}$ ∄
Графики и свойства тригонометрических функций
y = sin x:
  • Область определения: $x \in \mathbb{R}$
  • Область значений: $y \in [-1, 1]$
  • Период: $2\pi$
  • Нули: $x = \pi n$
  • Максимум: 1 при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
  • Минимум: -1 при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$
y = cos x:
  • Область определения: $x \in \mathbb{R}$
  • Область значений: $y \in [-1, 1]$
  • Период: $2\pi$
  • Нули: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
  • Максимум: 1 при $x = 2\pi n$
  • Минимум: -1 при $x = \pi + 2\pi n$
y = tan x:
  • Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
  • Область значений: $y \in \mathbb{R}$
  • Период: $\pi$
  • Нули: $x = \pi n$
  • Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
y = cot x:
  • Область определения: $x \neq \pi n$
  • Область значений: $y \in \mathbb{R}$
  • Период: $\pi$
  • Нули: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
  • Вертикальные асимптоты: $x = \pi n$

Практикум: Решение задач

Выберите уровень сложности:

Выберите тип задач:

Нажмите "Получить новую задачу" чтобы начать практику!

Прокрутить вверх