📚 Теория: Векторы
1. Основные понятия
- Вектор — направленный отрезок. Обозначается \( \vec{a} \) или \( \overrightarrow{AB} \).
- Начало и конец: у вектора \( \overrightarrow{AB} \) точка A — начало, B — конец.
- Нулевой вектор: \( \vec{0} = (0, 0) \) — длина 0, направление не определено.
- Равные векторы: одинаковые по длине и направлению (координаты совпадают).
2. Координаты и длина вектора
- Если \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), то \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1) \]
- Длина (модуль) вектора: \[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
- Пример: \( \vec{a} = (3, 4) \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5 \)
3. Операции с векторами
- Сложение: \( (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2) \)
- Вычитание: \( (x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2) \)
- Умножение на число: \( k \cdot (x, y) = (kx,\; ky) \)
- Противоположный вектор: \( -\vec{a} = (-x,\; -y) \)
- Свойства: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность.
4. Скалярное произведение
- Алгебраическая форма: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]
- Геометрическая форма: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \]
- Перпендикулярность: \[ \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
- Косинус угла между векторами: \[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]
5. Разложение по базису
- Базис на плоскости: два неколлинеарных вектора \( \vec{e_1}, \vec{e_2} \).
- Любой вектор \( \vec{a} \) можно представить как: \[ \vec{a} = x \vec{e_1} + y \vec{e_2} \]
- Коэффициенты \( x, y \) находятся из системы уравнений.
- Пример: \[ (7, 5) = x(1, 2) + y(3, 1) \Rightarrow \begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \Rightarrow x = 1,\; y = 2 \]
🎯Практикум
Выберите уровень:
Пройдено: 0/10 задач