Тригонометрические функции

1. Основные функции и их определения

Тригонометрические функции изначально определяются через единичную окружность (окружность радиуса 1 с центром в начале координат).

Для угла \( x \) (в радианах):

• \( \sin x \) — ордината (координата \( y \)) точки на окружности,
• \( \cos x \) — абсцисса (координата \( x \)) этой же точки,
• \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \), если \( \cos x \ne 0 \),
• \( \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \), если \( \sin x \ne 0 \).

2. Общий вид преобразованной функции

Любую тригонометрическую функцию можно записать в виде:

где \( f(x) \in \{ \sin x,\, \cos x,\, \tan x,\} \).

Параметр	Название	Влияние на график
\( a \)	Амплитуда (для sin/cos)	Вертикальное растяжение/сжатие; отражение при \( a < 0 \)
\( b \)	Частота	Горизонтальное сжатие/растяжение; изменяет период
\( c \)	Фаза	Горизонтальный сдвиг (влево/вправо)
\( d \)	Вертикальный сдвиг	Сдвиг всего графика вверх/вниз

3. Свойства основных функций

Свойство	\( y = \sin x \)	\( y = \cos x \)	\( y = \tan x \)	\( y = \cot x \)
Область определения	\( \mathbb{R} \)	\( \mathbb{R} \)	\( x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)	\( x \ne \pi k \)
Область значений	\( [-1,\, 1] \)	\( [-1,\, 1] \)	\( \mathbb{R} \)	\( \mathbb{R} \)
Период	\( 2\pi \)	\( 2\pi \)	\( \pi \)	\( \pi \)
Чётность	Нечётная	Чётная	Нечётная	Нечётная
Непрерывность	Непрерывна	Непрерывна	Разрывы	Разрывы
Экстремумы	Есть	Есть	Нет	Нет
Нули	\( x = \pi k \)	\( x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)	\( x = \pi k \)	\( x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)

Здесь \( k \in \mathbb{Z} \).

4. Формулы преобразования графика

• Период:
  • Для \( \sin, \cos \): \( T = \dfrac{2\pi}{|b|} \)
  • Для \( \tan, \cot \): \( T = \dfrac{\pi}{|b|} \)
• Амплитуда (только sin/cos): \( A = |a| \)
• Фазовый сдвиг: \( x_0 = -\dfrac{c}{b} \)
• Вертикальный сдвиг: \( d \)

5. Особенности графиков

Для \( \sin x \) и \( \cos x \)

• Гладкие, непрерывные волны.
• Ограничены: \( y \in [-|a| + d,\ |a| + d] \).
• Графики связаны: \( \cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) \).

Для \( \tan x \) и \( \cot x \)

• Имеют вертикальные асимптоты.
• На каждом интервале непрерывности — строго монотонны.
• Неограничены: \( y \to \pm\infty \) при приближении к асимптоте.

6. Полезные формулы

• \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
• \( 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \), если \( \cos x \ne 0 \)
• \( 1 + \cot^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x} \), если \( \sin x \ne 0 \)
• \( \tan x \cdot \cot x = 1 \), при \( x \ne \dfrac{\pi k}{2} \)

7. Примеры графиков

• \( y = 2\sin(3x) \): Амплитуда = 2, период = \( \dfrac{2\pi}{3} \).
• \( y = \cos(x — \pi) + 1 \): Сдвиг вправо на \( \pi \), подъём на 1; эквивалентно \( y = -\cos x + 1 \).
• \( y = \tan(2x + \pi) \): Совпадает с \( y = \tan(2x) \) из-за периодичности \( \tan \).

8. Рекомендации по построению

1. Найдите период и фазовый сдвиг.
2. Определите область значений (особенно для sin/cos).
3. Нанесите асимптоты (для tan/cot).
4. Отметьте нули, экстремумы, ключевые точки.
5. Используйте симметрию (чётность/нечётность).