Тренажер «Тригонометрия» — это интерактивный тренажер для систематической подготовки и предназначен для освоения раздела тригонометрии через теорию и практику.
1. круг и определения
единичная окружность (радиус = 1)
- $\sin \alpha = y$ (ордината)
- $\cos \alpha = x$ (абсцисса)
- $\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
- $\cot \alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
- $180^\circ = \pi$ рад
2. основные тождества
🔹 базовые
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$
$1+\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$1+\cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
🔹 формулы сложения
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$
🔹 двойной угол
$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$
$\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
🔹 половинный угол
$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$
$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$
$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$
🔹 сумма/разность функций
$\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
🔹 произведение
$\sin\alpha\sin\beta = \frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$
$\cos\alpha\cos\beta = \frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$
$\sin\alpha\cos\beta = \frac12[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)]$
таблицы значений
основные углы
| угол | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | ½ | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | ½ | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
формулы приведения
правило "лошади": функция меняется на ко-функцию (sin↔cos, tan↔cot)
при углах $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$; при углах $\pi$ и $2\pi$ — не меняется.
Знак определяем по исходной функции в четверти.
| угол ↓ | sin | cos | tan | cot |
|---|---|---|---|---|
| $\frac{\pi}{2}-\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\sin\alpha$ | $\cot\alpha$ | $\tan\alpha$ |
| $\frac{\pi}{2}+\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $-\cot\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| $\pi-\alpha$ | $\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ | $-\cot\alpha$ |
| $\pi+\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ | $\cot\alpha$ |
| $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cot\alpha$ | $\tan\alpha$ |
| $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\sin\alpha$ | $-\cot\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| $2\pi-\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ | $-\cot\alpha$ |
чётность / период
$\sin(-x)=-\sin x$
$\cos(-x)=\cos x$
$\tan(-x)=-\tan x$
$\cos(-x)=\cos x$
$\tan(-x)=-\tan x$
$\sin(x+2\pi)=\sin x$
$\cos(x+2\pi)=\cos x$
$\tan(x+\pi)=\tan x$
$\cos(x+2\pi)=\cos x$
$\tan(x+\pi)=\tan x$
тренажёр
уровень:
тип задач:
👆 нажми «➕ новая задача»