Основные тригонометрические формулы. Карточки для самоконтроля
Карточка 1 из 40
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Основное тождество
(кликните для переворота)
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Основное тригонометрическое тождество
Пример:
Если $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, то $\cos \alpha = \pm\sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \pm\frac{4}{5}$
(кликните, чтобы вернуться)
Все формулы (40 карточек)
🎯 Значения тригонометрических функций стандартных углов
| Угол (°) | Угол (рад) | $\sin \alpha$ | $\cos \alpha$ | $\operatorname{tg} \alpha$ | $\operatorname{ctg} \alpha$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | $\infty$ |
| 30° | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| 45° | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $1$ |
| 60° | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 90° | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | $\infty$ | $0$ |
| 120° | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\sqrt{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 135° | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ | $-1$ |
| 150° | $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $-\sqrt{3}$ |
| 180° | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $\infty$ |
| 270° | $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | $\infty$ | $0$ |
| 360° | $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ | $\infty$ |
📐 Формулы приведения (полный набор)
| Угол | $\sin$ | $\cos$ | $\operatorname{tg}$ | $\operatorname{ctg}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\frac{\pi}{2} — \alpha$ | $+\cos \alpha$ | $+\sin \alpha$ | $+\operatorname{ctg} \alpha$ | $+\operatorname{tg} \alpha$ |
| $\frac{\pi}{2} + \alpha$ | $+\cos \alpha$ | $-\sin \alpha$ | $-\operatorname{ctg} \alpha$ | $-\operatorname{tg} \alpha$ |
| $\pi — \alpha$ | $+\sin \alpha$ | $-\cos \alpha$ | $-\operatorname{tg} \alpha$ | $-\operatorname{ctg} \alpha$ |
| $\pi + \alpha$ | $-\sin \alpha$ | $-\cos \alpha$ | $+\operatorname{tg} \alpha$ | $+\operatorname{ctg} \alpha$ |
| $\frac{3\pi}{2} — \alpha$ | $-\cos \alpha$ | $-\sin \alpha$ | $+\operatorname{ctg} \alpha$ | $+\operatorname{tg} \alpha$ |
| $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ | $-\cos \alpha$ | $+\sin \alpha$ | $-\operatorname{ctg} \alpha$ | $-\operatorname{tg} \alpha$ |
| $2\pi — \alpha$ | $-\sin \alpha$ | $+\cos \alpha$ | $-\operatorname{tg} \alpha$ | $-\operatorname{ctg} \alpha$ |
| $2\pi + \alpha$ | $+\sin \alpha$ | $+\cos \alpha$ | $+\operatorname{tg} \alpha$ | $+\operatorname{ctg} \alpha$ |
Правило: Знак определяется по четверти, в которую попадает угол
📋 Полный справочник тригонометрических формул
1. Основные тождества
Основное:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Тангенс:
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Котангенс:
$\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
Связь:
$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$
Следствие 1:
$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
Следствие 2:
$1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$
2. Сумма и разность углов
$\sin(\alpha\pm\beta)$:
$\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta)$:
$\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
$\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)$:
$\dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$
3. Двойной угол
$\sin 2\alpha$:
$2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha$:
$\cos^2\alpha — \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha — 1 = 1 — 2\sin^2\alpha$
$\operatorname{tg} 2\alpha$:
$\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 — \operatorname{tg}^2\alpha}$
4. Половинный угол
$\sin\dfrac{\alpha}{2}$:
$\pm\sqrt{\dfrac{1 — \cos\alpha}{2}}$
$\cos\dfrac{\alpha}{2}$:
$\pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}}$
$\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}$:
$\dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \dfrac{1 — \cos\alpha}{\sin\alpha}$
5. Тройной угол
$\sin 3\alpha$:
$3\sin\alpha — 4\sin^3\alpha$
$\cos 3\alpha$:
$4\cos^3\alpha — 3\cos\alpha$
$\operatorname{tg} 3\alpha$:
$\dfrac{3\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}^3\alpha}{1 — 3\operatorname{tg}^2\alpha}$
6. Сумма → произведение
$\sin\alpha + \sin\beta$:
$2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin\alpha — \sin\beta$:
$2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha + \cos\beta$:
$2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha — \cos\beta$:
$-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
7. Произведение → сумма
$\sin\alpha\sin\beta$:
$\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) — \cos(\alpha+\beta)]$
$\cos\alpha\cos\beta$:
$\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]$
$\sin\alpha\cos\beta$:
$\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$
8. Понижение степени
$\sin^2\alpha$:
$\dfrac{1 — \cos 2\alpha}{2}$
$\cos^2\alpha$:
$\dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$
$\operatorname{tg}^2\alpha$:
$\dfrac{1 — \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$
9. Формулы приведения
$\sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha)$:
$\cos\alpha$
$\cos(\frac{\pi}{2} \pm \alpha)$:
$\mp\sin\alpha$
$\sin(\pi \pm \alpha)$:
$\pm\sin\alpha$
$\cos(\pi \pm \alpha)$:
$-\cos\alpha$
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} \pm \alpha)$:
$\mp\operatorname{ctg}\alpha$
$\operatorname{tg}(\pi \pm \alpha)$:
$\pm\operatorname{tg}\alpha$