Прямоугольный треугольник

От /

Напротив угла в 30∘ лежит катет, равный половине гипотенузы: если α=30∘, тогда 2a=c.

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен разности острых углов треугольника.

Один из углов прямоугольного треугольника равен 26°. Найдите угол между медианой и высотой этого треугольника, проведёнными к гипотенузе. Ответ дайте в градусах/

90-26=64,  64-26=38

Ответ: 38.

 

1. Общая схема решения

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известен острый угол B=β, тогда A=90∘−β.
Из вершины C проводим два отрезка (медиану CM, высоту CH, биссектрису CD) и ищем угол между ними.

2. Углы между лучами из точки C

Лучи из C в порядке:
CA — CH — CD — CM — CB.
(Порядок зависит от β, но для стандартного острого β это так.)

Известные углы:

  • ∠ACB=90∘

  • ∠ACH=β (так как в △ACH угол A=90∘−β, значит ∠ACH=β)

  • ∠ACD=45∘ (биссектриса)

  • ∠ACM — медиана CM, △ACM равнобедренный (AM=CM), значит ∠ACM=∠A=90∘−β.

3. Формулы для углов между отрезками

Угол между высотой и биссектрисой:

Высота и биссектриса, проведённые из вершины прямого угла, образуют угол, который можно найти через разность углов, созданных этими элементами.

∠KCH=∠ACH−∠ACK,
где ∠ACH — угол между высотой и катетом, ∠ACK — угол между биссектрисой и катетом. 
 
Пример: если один из острых углов равен 61∘, то угол между высотой и биссектрисой будет 61∘−45∘=16∘
 
 

Угол между биссектрисой и высотой

  • Для угла между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла, используется выражение 45∘−φ, где φ — некоторая характеристика конфигурации, например разница между углами при основании треугольников с использованием высоты и биссектрисы.​

  • Иногда этот угол выражается через острые углы как функция их суммы и разности, например: θбиссектриса, высота=45∘−φ, где φ зависит от конкретных данных задачи

 

∠(HCD)=∣∠ACH−∠ACD∣=∣β−45∘∣.

Пример: β=67∘, тогда 67∘−45∘=22∘

Угол между медианой и высотой:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы и делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.

∠MCH=∣∠A−∠B∣,

где ∠A и ∠B — острые углы исходного треугольника, M — точка пересечения медианы с гипотенузой, H — основание высоты

Пример: если один из острых углов равен 32∘, то угол между высотой и медианой будет 32∘−(90∘−32∘)=64∘−32∘=32∘

 

Угол между медианой и высотой

  • Угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла на гипотенузу, равен разности острых углов треугольника (β−α), где β>α.​

  • Формула: θмедиана, высота=β−α.

  • Острые углы в прямоугольном треугольнике всегда дают в сумме 90°.

 

∠(HCM)=∣∠ACH−∠ACM∣=∣β−(90∘−β)∣=∣2β−90∘∣.

Пример: β=67∘, тогда 2⋅67∘−90∘=44∘

Угол между медианой и биссектрисой:

Биссектриса делит прямой угол пополам, создавая два угла по 45∘. Медиана, как уже упоминалось, делит гипотенузу пополам и образует равнобедренный треугольник.

∠MCD=∣∠C/2−∠A∣,
где ∠C — прямой угол, ∠A — один из острых углов, M — точка пересечения медианы с гипотенузой, D — точка пересечения биссектрисы с гипотенузой.
 
Пример: если один из острых углов равен 24∘, то угол между биссектрисой и медианой будет 45∘−24∘=21∘.

∠(DCM)=∣∠ACD−∠ACM∣=∣45∘−(90∘−β)∣=∣β−45∘∣.

Пример: β=67∘, тогда 67∘−45∘=22∘ (совпадает с HCD в этом случае, но не всегда — зависит от β).

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. 45-14 =31
Материал скопирован с сайта: https://ege314.ru/6-planimetriya-ege/reshenie-2069

Угол между медианой и биссектрисой

  • Если медиана и биссектриса проведены из вершины прямого угла, то угол между ними равен разности между половиной прямого угла (45°) и меньшим острым углом треугольника:

  • Формула: θмедиана, биссектриса=45∘−α, где α — меньший острый угол.​

  • Например, если угол между биссектрисой и медианой равен 14°, то меньший угол треугольника — 31°

 

 

Угол между биссектрисой и катетом CB:

∠(DCB)=45∘.

(Постоянно, т.к. биссектриса делит прямой угол.)

4. Сводка формул

Если β — угол B:

  1. ∠(HCD)=∣β−45∘∣

  2. ∠(HCM)=∣2β−90∘∣

  3. ∠(DCM)=∣β−45∘∣ (совпадает с 1)

  4. ∠(ACM)=90∘−β

  5. ∠(ACD)=45∘

  6. ∠(ACH)=β

5. Проверка на примере β=26∘

  • HCD=∣26−45∣=19∘

  • HCM=∣52−90∣=38∘

  • DCM=∣26−45∣=19∘

 

 

 

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

 

Верно и обратное: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то эта медиана исходит из вершины прямого угла. То есть наш треугольник — прямоугольный.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, вычисляется по формуле: h=ab/c
​

 

В прямоугольном треугольнике существует несколько метрических соотношений — формул, связывающих длины сторон, высоту, проекции катетов на гипотенузу и другие элементы. Эти соотношения следуют из подобия треугольников, образующихся при проведении высоты из вершины прямого угла к гипотенузе.

Обозначения

Пусть дан прямоугольный треугольник с .
Проведём высоту к гипотенузе .

 

Обозначим:

  • — гипотенуза,
  • , — катеты,
  • — высота к гипотенузе,
  • — проекция катета на гипотенузу,
  • — проекция катета на гипотенузу.
 

Тогда:

  • ,
  • Треугольники , и подобны между собой.
 
 

Основные метрические соотношения

  1. Теорема Пифагора:
 
  1. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета:
 
  1. Квадрат высоты равен произведению проекций катетов:
 
  1. Высота выражается через катеты и гипотенузу:
 
  1. Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту:
 
  1. Обратная связь для проекций:
 
Прокрутить вверх