определения, теоремы и свойства
Основные теоремы и формулы
1. Теорема о вписанном угле:
Вписанный угол = ½ центрального угла, опирающегося на ту же дугу
∠ACB = ½ ∠AOB = ½ дуги AB
2. Полезные факты:
- Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Он в 2 раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
- Вписанный угол — это угол с вершиной на окружности. Его стороны пересекают окружность.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90° (прямой угол).
- Равные дуги стягиваются равными хордами.
- Угол между касательной и хордой равен половине дуги между ними.
- В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов = 180°.
3. Вписанный четырёхугольник:
∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
4. Теорема о пересекающихся хордах:
AE × BE = CE × DE
Тип 1: Вписанные и центральные углы
Базовые задачи на теорему о вписанном угле
1
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет \(\frac{1}{6}\) окружности.
Шаг 1: Полная окружность = 360°
Шаг 2: Дуга = \(\frac{1}{6}\) × 360° = 60°
Шаг 3: Вписанный угол = ½ × дуга = ½ × 60° = 30°
2
Центральный угол на 48° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол.
Шаг 1: Обозначим вписанный угол = x°
Шаг 2: Центральный угол = 2x° (в 2 раза больше)
Шаг 3: По условию: 2x = x + 48
Шаг 4: Решаем уравнение: 2x — x = 48 ⇒ x = 48°
3
Найдите центральный угол \(AOB\), если он на 62° больше вписанного угла \(ACB\), опирающегося на ту же дугу.
Шаг 1: Пусть вписанный угол ∠ACB = x°
Шаг 2: Тогда центральный угол ∠AOB = 2x°
Шаг 3: По условию: 2x = x + 62
Шаг 4: x = 62° (вписанный угол)
Шаг 5: Центральный угол = 2 × 62° = 124°
4
Вписанный угол равен 36°. Какую часть окружности составляет дуга, на которую он опирается?
Шаг 1: Дуга = 2 × вписанный угол = 2 × 36° = 72°
Шаг 2: Полная окружность = 360°
Шаг 3: Часть окружности = \(\frac{72}{360} = \frac{1}{5} = \)0.2
5
Вписанный угол, опирающийся на дугу, составляет \(\frac{2}{9}\) окружности. Найдите этот угол.
Шаг 1: Полная окружность = 360°
Шаг 2: Дуга = \(\frac{2}{9}\) × 360° = 80°
Шаг 3: Вписанный угол = ½ × 80° = 40°
6
Дуга окружности составляет 210°. Найдите вписанный угол, опирающийся на эту дугу.
Шаг 1: Вписанный угол = ½ × дуга
Шаг 2: Вписанный угол = ½ × 210° = 105°
7
Радиус окружности равен √6. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную \(3\sqrt{2}\). Ответ дайте в градусах.
Шаг 1: Обозначим хорду \(AB = 3\sqrt{2}\), радиус \(R = \sqrt{6}\)
Шаг 2: Найдём центральный угол, соответствующий хорде \(AB\)
Формула: Длина хорды \(AB = 2R \cdot \sin\frac{\alpha}{2}\), где \(\alpha\) — центральный угол
Шаг 3: Подставляем: \(3\sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sin\frac{\alpha}{2}\)
Шаг 4: Упрощаем: \(\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Шаг 5: \(\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 60° \text{ или } 120°\)
Шаг 6: \(\frac{\alpha}{2} = 60° \Rightarrow \alpha = 120°\) (центральный угол)
Шаг 7: Соответствующий вписанный угол \(\beta = \frac{\alpha}{2} = 60°\) (это острый угол)
Шаг 8: Тупой вписанный угол, опирающийся на ту же хорду: 180° — 60° = 120°
Тип 2: Хорды, секущие и касательные
Задачи на пересечение прямых и окружностей
7
Хорда \(AB\) стягивает дугу в 120°. Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку \(B\).
Правило: Угол между касательной и хордой равен половине дуги между ними.
Шаг 1: Дуга AB = 120°
Шаг 2: Угол = ½ × 120° = 60°
8
Угол между хордой \(AB\) и касательной \(BC\) к окружности равен 87°. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой \(AB\).
Правило: Угол между касательной и хордой = ½ × дуга
Шаг 1: 87° = ½ × дуга AB
Шаг 2: Дуга AB = 2 × 87° = 174°
9
Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\). \(AE = 4\), \(BE = 6\), \(CE = 3\). Найдите \(DE\).
Правило: При пересечении хорд: AE × BE = CE × DE
Шаг 1: 4 × 6 = 3 × DE
Шаг 2: 24 = 3 × DE
Шаг 3: DE = 24 ÷ 3 = 8
10
В окружности проведены две хорды, пересекающиеся под углом 32°. Найдите сумму градусных мер дуг, заключённых между концами хорд.
Правило: Угол между хордами = ½ × (дуга₁ + дуга₂)
Шаг 1: 32° = ½ × (дуга₁ + дуга₂)
Шаг 2: дуга₁ + дуга₂ = 2 × 32° = 64°
11
Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\). \(AE : BE = 1 : 2\) и \(AE \cdot BE = 50\). Найдите \(CE\), если \(DE = 10\).
Шаг 1: Пусть AE = x, тогда BE = 2x (т.к. отношение 1:2)
Шаг 2: AE × BE = 50 ⇒ x × 2x = 50 ⇒ 2x² = 50
Шаг 3: x² = 25 ⇒ x = 5
Шаг 4: AE = 5, BE = 10
Шаг 5: По теореме о хордах: AE × BE = CE × DE
Шаг 6: 5 × 10 = CE × 10 ⇒ CE = 5
12
Угол ACB равен 33°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек C и E, равна 102°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Шаг 1: Угол ACB — угол между двумя секущими, проведёнными из внешней точки C
Шаг 2: Формула: ∠ACB = ½(дуга AB − дуга DE), где AB = 102° — большая дуга
Шаг 3: Подставляем: 33° = ½(102° − дуга DE)
Шаг 4: Решаем: 66° = 102° − дуга DE ⇒ дуга DE = 36°
Шаг 5: Угол DAE — вписанный, опирающийся на дугу DE: ∠DAE = ½ × дуга DE
Шаг 6: ∠DAE = ½ × 36° = 18°
Тип 3: Диаметры и углы 90°
Задачи с диаметрами и прямыми углами
12
\(AC\) и \(BD\) — диаметры окружности. ∠\(ACB\) = 32°. Найдите ∠\(AOD\).
Шаг 1: AC — диаметр, значит ∠ABC = 90° (угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой)
Шаг 2: В треугольнике ABC: ∠CAB = 180° — 90° — 32° = 58°
Шаг 3: ∠CAB — вписанный угол, опирается на дугу BC
Шаг 4: Центральный угол ∠BOC = 2 × ∠CAB = 2 × 58° = 116°
Шаг 5: ∠BOC и ∠AOD — вертикальные углы, значит равны
Ответ: ∠AOD = 116°
13
\(AC\) и \(BD\) — диаметры окружности. Центральный ∠\(AOD\) = 84°. Найдите вписанный ∠\(ACB\).
Шаг 1: ∠AOD = 84°, значит ∠BOC = 84° (вертикальные углы)
Шаг 2: ∠BOC — центральный угол, опирается на дугу BC
Шаг 3: Вписанный угол ∠BAC = ½ × ∠BOC = ½ × 84° = 42°
Шаг 4: AC — диаметр, значит ∠ABC = 90°
Шаг 5: В треугольнике ABC: ∠ACB = 180° — 90° — 42° = 48°
Тип 4: Вписанные четырёхугольники
Свойства четырёхугольников, вписанных в окружность
14
Угол \(A\) вписанного четырёхугольника \(ABCD\) равен 116°. Найдите угол \(C\).
Правило: В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов = 180°
Шаг 1: ∠A + ∠C = 180°
Шаг 2: 116° + ∠C = 180°
Шаг 3: ∠C = 180° — 116° = 64°
15
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 117° и 153°. Найдите больший из оставшихся углов.
Шаг 1: Для угла 117° противоположный угол = 180° — 117° = 63°
Шаг 2: Для угла 153° противоположный угол = 180° — 153° = 27°
Шаг 3: Сравниваем: 63° > 27°
Ответ: 63°
16
В четырёхугольнике \(ABCD\): ∠\(ABC\) = 44°, ∠\(CAD\) = 36°. Найдите угол \(ABD\).
Шаг 1: ∠CAD = 36° — вписанный угол, опирается на дугу CD
Шаг 2: ∠CBD = 36° — как вписанный угол, опирается на ту же дугу CD, что и ∠CAD
Шаг 3: ∠ABD = 44° — 36° =
8°
17
Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. ∠\(ABD\) = 28°, ∠\(CAD\) = 44°. Найдите угол \(ABC\).
Шаг 1: ∠ABD = 28° опирается на дугу AD
Шаг 2: ∠CBD = 44° , так как опирается на дугу CD что и ∠CАD.
Шаг 3: ∠ABC = 28° + 44° = 72°
18
Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. ∠\(ABC\) = 92°, ∠\(ABD\) = 54°. Найдите угол \(CAD\).
Шаг 1: ∠ABC = 92° опирается на дугу ADC
Шаг 2: ∠ABD = 54° опирается на дугу AD
Шаг 4: ∠CAD = 92° — 54° = 38°
19
Стороны АВ, ВС, CD и АD четырёхугольника АВCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 46°, 115°, 122°, 77°. Найдите угол АВС.
Ответ дайте в градусах.
Шаг 1: Угол ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу ADC
Шаг 2: Дуга ADC состоит из дуги AD (77°) и дуги DC (122°): дуга ADC = 77° + 122° = 199°
Шаг 3: Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается
Шаг 4: ∠ABC = ½ × дуга ADC = ½ × 199° = 99.5°
Шаг 1: ∠ABC = 52° опирается на дугу ADC
Шаг 2: ∠ABD = 34° опирается на дугу AD
Шаг 4: ∠CAD = 52° — 34° = 18°
20
Дуга \(AC\), не содержащая точки \(B\), составляет 125°. А дуга \(BC\), не содержащая точки \(A\), составляет 79°. Найдите ∠\(ACB\).
Шаг 1: Полная окружность = 360°
Шаг 2: Дуга AB = 360° — дуга AC — дуга BC = 360° — 125° — 79° = 156°
Шаг 3: ∠ACB опирается на дугу AB
Шаг 4: ∠ACB = ½ × 156° = 78°
Тип 5: Касательные
Задачи с касательными и углами между ними
21
Найдите ∠\(ACO\), если \(CA\) — касательная, \(O\) — центр, дуга \(AB\) = 58°.
Шаг 1: ∠CAB — угол между касательной и хордой = ½ × дуга AB = ½ × 58° = 29°
Шаг 2: Радиус перпендикулярен касательной ⇒ OA ⟂ CA ⇒ ∠OAC = 90°
Шаг 3: В треугольнике AOC: ∠ACO = 180° — 90° — 29° = 61°
22
Центральный угол \(AOB\) равен 130°. Найдите угол \(ACB\), где \(C\) — точка на окружности, лежащая на большей дуге \(AB\).
Шаг 1: ∠ACB — вписанный угол, опирается на ту же дугу AB, что и центральный ∠AOB
Шаг 2: Вписанный угол = ½ × центральный угол = ½ × 130° = 65°
23
Через концы \(A\) и \(B\) дуги окружности с центром \(O\) проведены касательные \(AC\) и \(BC\). ∠\(CAB\) = 28°. Найдите ∠\(AOB\).
Шаг 1: ∠CAB = 28° — угол между касательной и хордой
Шаг 2: Дуга AB = 2 × ∠CAB = 2 × 28° = 56°
Шаг 3: Центральный угол ∠AOB равен дуге AB
Ответ: ∠AOB = 56°
24
Через концы \(A\) и \(B\) дуги окружности с центром \(O\) проведены касательные \(AC\) и \(BC\). ∠\(CAB\) = 53°. Найдите ∠\(AOB\).
Шаг 1: ∠CAB = 53° — угол между касательной и хордой
Шаг 2: Дуга AB = 2 × ∠CAB = 2 × 53° = 106°
Шаг 3: Центральный угол ∠AOB равен дуге AB
Ответ: ∠AOB = 106°
25
Вписанный угол равен 25°. Какую часть окружности составляет дуга, на которую он опирается?
Шаг 1: Дуга = 2 × вписанный угол = 2 × 25° = 50°
Шаг 2: Полная окружность = 360°
Шаг 3: Часть окружности = \(\frac{50}{360} = \frac{5}{36} \approx\)0.1389
Правильно решено: 0 из 25 задач
Дополнительно
- Источник: ссылка