Острый угол В прямоугольного треугольника АВС равен 67°. Найдите угол между высотой СН и биссектрисой СD, проведёнными из вершины прямого угла.
📐
△ABC, ∠C = 90° (прямой угол)
📍
∠B = 67° (острый угол при вершине B)
➗
CD — биссектриса ∠C (из прямого угла)
⬆️
CH — высота к гипотенузе AB
🎯
Найти: ∠DCH
Теория
1. Биссектриса прямого угла
\[ \angle ACD = \angle DCB = 45^\circ \]
Делит угол 90° на два равных угла по 45°.
2. Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника.
\[ CH \perp AB \]
3. Сумма острых углов
\[ \angle A + \angle B = 90^\circ \]
Решение
1
Находим ∠A:
\[ \angle A = 90^\circ — \angle B = 90^\circ — 67^\circ = 23^\circ \]
2
Углы биссектрисы CD:
\[ \angle ACD = 45^\circ,\quad \angle DCB = 45^\circ \]
3
Рассмотрим △ACH:
В △ACH: ∠CHA = 90° (так как CH — высота), ∠A = 23°
\[ \angle ACH = 90^\circ — \angle A = 90^\circ — 23^\circ = 67^\circ \]
∠ACH = 67° — это угол между CA и CH.
4
Находим искомый ∠DCH:
\[ \angle ACH = \angle ACD + \angle DCH \]
\[ 67^\circ = 45^\circ + \angle DCH \]
\[ \angle DCH = 67^\circ — 45^\circ = 22^\circ \]
Угол между высотой CH и биссектрисой CD:
22°
∠DCH = 22°