В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, высота АН равна 8, ВН = 20. Найдите tgВАС
△
В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AC = BC \) (равнобедренный)
⬇️
Высота \( AH = 8 \)
↔️
\( BH = 20 \)
🎯
Найти: \( \tan \angle BAC \)
Теория
Равнобедренный треугольник
В равнобедренном треугольнике с равными боковыми сторонами \( AC = BC \) углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике
\[ \tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]
Решение
1
Рассмотрим геометрию задачи:
В треугольнике \( ABC \) с \( AC = BC \) проведена высота \( AH \) к стороне \( BC \).
Точка \( H \) лежит на \( BC \), поэтому треугольник \( AHB \) прямоугольный (\( \angle AHB = 90^\circ \)).
\[ AH = 8, \quad BH = 20 \]
2
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
\[ \angle BAC = \angle ABC \]
Угол \( ABC \) — это угол \( ABH \) в треугольнике \( AHB \).
3
В прямоугольном треугольнике \( AHB \) тангенс угла \( ABH \):
\[ \tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} \]
4
Поскольку \( \angle ABH = \angle ABC = \angle BAC \), получаем:
\[ \tan(\angle BAC) = \tan(\angle ABH) = \frac{2}{5} \]
Тангенс угла BAC:
\(\frac{2}{5}\)
\( \tan \angle BAC = 0.4 \)