Острый угол В прямоугольного треугольника АВС равен 36°. Найдите угол между биссектрисой СD и медианой СМ, проведёнными из вершины прямого угла.
📐
△ABC, ∠C = 90° (прямой угол)
📍
∠B = 36° (острый угол при вершине B)
➗
CD — биссектриса ∠C (из прямого угла)
⚖️
CM — медиана к гипотенузе AB
🎯
Найти: ∠DCM
Теория
1. Биссектриса прямого угла
\[ \angle ACD = \angle DCB = 45^\circ \]
Делит угол 90° на два равных угла по 45°.
2. Медиана в прямоугольном треугольнике
\[ CM = AM = BM \]
Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Точка M — середина AB.
3. Сумма острых углов
\[ \angle A + \angle B = 90^\circ \]
Решение
1
Находим ∠A:
\[ \angle A = 90^\circ — \angle B = 90^\circ — 36^\circ = 54^\circ \]
2
Углы биссектрисы CD:
\[ \angle ACD = 45^\circ,\quad \angle DCB = 45^\circ \]
3
Рассмотрим △ACM (M — середина AB):
В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе делит его на два равнобедренных треугольника.
\[ CM = AM \quad\Rightarrow\quad \triangle ACM \text{ — равнобедренный} \]
Значит, ∠ACM = ∠A = 54°.
4
Находим искомый ∠DCM:
\[ \angle ACM = \angle ACD + \angle DCM \]
\[ 54^\circ = 45^\circ + \angle DCM \]
\[ \angle DCM = 54^\circ — 45^\circ = 9^\circ \]
Угол между биссектрисой CD и медианой CM:
9°
∠DCM = 9°