В треугольнике АВС известно, что АС = ВС,…. Найдите сов ВАС.
△
Треугольник \( ABC \), \( AC = BC \) (равнобедренный)
⬇️
Высота \( AH = 6\sqrt{6} \)
↔️
\( BH = 3 \)
🎯
Найти: \( \cos \angle BAC \)
Теория
Равнобедренный треугольник
В равнобедренном треугольнике с равными боковыми сторонами \( AC = BC \) углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).
Теорема Пифагора
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
Косинус угла в прямоугольном треугольнике
\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]
Решение
1
Рассмотрим геометрию задачи:
В треугольнике \( ABC \) с \( AC = BC \) проведена высота \( AH \) к стороне \( BC \).
Точка \( H \) лежит на \( BC \), поэтому треугольник \( AHB \) прямоугольный (\( \angle AHB = 90^\circ \)).
\[ AH = 6\sqrt{6}, \quad BH = 3 \]
2
Найдем гипотенузу \( AB \) из треугольника \( AHB \) по теореме Пифагора:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ AB^2 = (6\sqrt{6})^2 + 3^2 = 36 \cdot 6 + 9 = 216 + 9 = 225 \]
\[ AB = 15 \quad (\text{AB > 0}) \]
3
Найдем \( \cos \angle ABH \) в треугольнике \( AHB \):
\[ \cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \]
Здесь \( \angle ABH = \angle ABC \).
4
В равнобедренном треугольнике \( \angle ABC = \angle BAC \), поэтому:
\[ \cos(\angle BAC) = \cos(\angle ABC) = \frac{1}{5} \]
Косинус угла BAC:
\(\frac{1}{5}\)
\( \cos \angle BAC = 0.2 \)