Углы в треугольнике — 5

От /

В тупоугольном треугольнике АВС известно, что АС = ВС = 10, высота АН равна √51. Найдите косинус угла АСВ.

Косинус угла в тупоугольном треугольнике
△
Тупоугольный треугольник \( ABC \)
📏
\( AC = BC = 10 \) (равнобедренный)
⬇️
Высота \( AH = \sqrt{51} \) (из вершины \( A \) на сторону \( BC \))
🎯
Найти: \( \cos \angle ACB \)

Теория

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике с \( AC = BC \) углы при основании \( AB \) равны.

Теорема Пифагора

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Формула косинуса

\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

И формула косинуса тупого угла:

\[ \cos(180^\circ — \alpha) = -\cos \alpha \]

Решение

1

В треугольнике \( ABC \) проведена высота \( AH \) к стороне \( BC \).

Треугольник \( AHC \) прямоугольный (\( \angle AHC = 90^\circ \)) с гипотенузой \( AC = 10 \) и катетом \( AH = \sqrt{51} \).

2

По теореме Пифагора находим второй катет \( HC \):

\[ HC^2 = AC^2 — AH^2 \]
\[ HC^2 = 10^2 — (\sqrt{51})^2 = 100 — 51 = 49 \]
\[ HC = 7 \quad (\text{длина положительна}) \]
3

Рассмотрим угол \( ACH \) в прямоугольном треугольнике \( AHC \):

\[ \cos(\angle ACH) = \frac{HC}{AC} = \frac{7}{10} = 0.7 \]

Угол \( ACH \) — это острый угол при вершине \( C \) в треугольнике \( AHC \).

4

В тупоугольном равнобедренном треугольнике с \( AC = BC \), если провести высоту \( AH \) к основанию \( BC \), то точка \( H \) лежит на продолжении стороны \( BC \), а не на самом отрезке \( BC \).

Тогда угол \( ACB \) тупой, а угол \( ACH \) острый, и:

\[ \angle ACB = 180^\circ — \angle ACH \]

Так как \( \angle ACH \) и \( \angle ACB \) смежные.

5

Находим косинус тупого угла \( ACB \):

\[ \cos(\angle ACB) = \cos(180^\circ — \angle ACH) = -\cos(\angle ACH) \]
\[ \cos(\angle ACB) = -\frac{7}{10} = -0.7 \]
Косинус угла ACB:
\( -\frac{7}{10} \)
\( \cos \angle ACB = -0.7 \)
Прокрутить вверх