Углы в треугольнике — 6

От /

В равнобедренном треугольнике АВС …

Нахождение угла AFC в равнобедренном треугольнике
△
Равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \)
↕️
Биссектриса \( AF \) проведена из вершины \( A \)
∠
Угол \( ABC = 76^\circ \)
🎯
Найти: угол \( AFC \)

Теория

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

  • Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \)
  • Биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

Сумма углов треугольника

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Свойство биссектрисы

Биссектриса делит угол пополам:

\[ \text{Если } AF \text{ — биссектриса } \angle BAC, \text{ то } \angle BAF = \angle FAC \]

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

\[ \angle AFC = \angle BAF + \angle ABF \]

Решение

1

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) углы при основании равны:

\[ \angle BAC = \angle BCA \]

Обозначим \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \).

2

Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):

\[ \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ \]
\[ 76^\circ + \alpha + \alpha = 180^\circ \]
\[ 76^\circ + 2\alpha = 180^\circ \]
\[ 2\alpha = 180^\circ — 76^\circ = 104^\circ \]
\[ \alpha = \frac{104^\circ}{2} = 52^\circ \]

Таким образом, \( \angle BAC = \angle BCA = 52^\circ \).

3

Так как \( AF \) — биссектриса угла \( BAC \), то:

\[ \angle BAF = \angle FAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{52^\circ}{2} = 26^\circ \]
4

Рассмотрим треугольник \( ABF \). В нём известны два угла:

\[ \angle ABF = \angle ABC = 76^\circ \]
\[ \angle BAF = 26^\circ \]

Найдём угол \( AFB \):

\[ \angle AFB = 180^\circ — \angle ABF — \angle BAF \]
\[ \angle AFB = 180^\circ — 76^\circ — 26^\circ = 78^\circ \]
5

Углы \( AFB \) и \( AFC \) смежные, их сумма равна \( 180^\circ \):

\[ \angle AFB + \angle AFC = 180^\circ \]
\[ 78^\circ + \angle AFC = 180^\circ \]
\[ \angle AFC = 180^\circ — 78^\circ = 102^\circ \]
6

Можно также решить через внешний угол треугольника:

Угол \( AFC \) — внешний угол треугольника \( ABF \) при вершине \( F \).

\[ \angle AFC = \angle ABF + \angle BAF = 76^\circ + 26^\circ = 102^\circ \]
Угол AFC:
\( 102^\circ \)
Прокрутить вверх