В треугольнике АВС угол В равен 68, биссектрисы углов ВАС и АСВ пересекаются в точке О. Найдите угол АОС.
∠
Угол \( B = 68^\circ \)
↕️
Биссектрисы углов \( A \) и \( C \) пересекаются в точке \( O \)
🎯
Найти: угол \( AOC \) (в градусах)
Теория
Сумма углов треугольника
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]
Свойство биссектрисы
Биссектриса делит угол пополам:
\[ \text{Если } AO \text{ — биссектриса } \angle BAC, \text{ то } \angle BAO = \angle OAC \]
\[ \text{Если } CO \text{ — биссектриса } \angle BCA, \text{ то } \angle BCO = \angle OCA \]
Сумма углов четырёхугольника
\[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \]
Угол между биссектрисами
Угол между биссектрисами двух углов треугольника равен:
\[ 90^\circ + \frac{\text{третий угол}}{2} \]
Решение
1
Дано: \( \angle B = 68^\circ \).
Найдем сумму углов \( A \) и \( C \):
\[ \angle A + \angle C = 180^\circ — \angle B = 180^\circ — 68^\circ = 112^\circ \]
2
Обозначим половинки углов:
Пусть \( \angle BAO = \angle OAC = \alpha \)
Пусть \( \angle BCO = \angle OCA = \beta \)
Тогда:
\[ \angle A = 2\alpha, \quad \angle C = 2\beta \]
3
Из суммы углов \( A \) и \( C \):
\[ 2\alpha + 2\beta = 112^\circ \]
\[ \alpha + \beta = \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ \]
4
Рассмотрим треугольник \( AOC \).
В нём известны два угла: \( \angle OAC = \alpha \) и \( \angle OCA = \beta \).
Найдём третий угол \( \angle AOC \):
\[ \angle AOC = 180^\circ — \alpha — \beta \]
Подставляем \( \alpha + \beta = 56^\circ \):
\[ \angle AOC = 180^\circ — 56^\circ = 124^\circ \]
5
Можно решить по формуле для угла между биссектрисами:
Угол между биссектрисами углов \( A \) и \( C \) равен:
\[ 90^\circ + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ + \frac{68^\circ}{2} = 90^\circ + 34^\circ = 124^\circ \]
Тот же результат.
Угол AOC:
\( 124^\circ \)
