Уравнения Пелля — это класс диофантовых уравнений вида:
x^2−Dy^2=1,
где D — натуральное число, не являющееся полным квадратом.
Примеры:
- Для D=2 (уравнение x^2−2y^2=1):
- Фундаментальное решение: (3,2).
- Следующие решения: (17,12), (99,70), и т. д.
- Для D=3 (уравнение x^2−3y^2=1):
- Фундаментальное решение: (2,1).
- Следующие решения: (7,4), (26,15), и т. д.
Основные свойства
Бесконечное число решений
Если D не является квадратом, уравнение имеет бесконечно много целых решений (x,y).
Фундаментальное решение
Наименьшее нетривиальное решение (x1,y1) называется фундаментальным. Все остальные решения могут быть получены по формуле:
Связь с цепными дробями
Фундаментальное решение можно найти, разложив D в цепную дробь.
История
Название уравнения связано с английским математиком Джоном Пеллем (John Pell, 1611–1685), хотя на самом деле он не внёс значительного вклада в их изучение. Исторически эти уравнения исследовали ещё древнегреческие и индийские математики:
Архимед (III в. до н. э.) применял методы, близкие к уравнениям типа Пелля, для оценки квадратных корней. Его работы стали мостом между вавилонской математикой и индийско-арабской алгеброй (Брахмагупта, аль-Хорезми). Архимед интуитивно использовал принципы, лежащие в основе уравнений Пелля, для практических вычислений. Его методы — пример того, как прикладная задача (расчёт π, площади круга) вела к глубоким теоретическим открытиям, сформулированным лишь через тысячелетия.
Брахмагупта (598–670 гг. н. э.) — индийский математик и астроном — действительно разработал метод чакравалы (चक्रवाल, «циклический метод») для решения уравнений вида: x^2−Dy^2=1. Этот метод стал прорывом в теории чисел и опередил европейскую математику на тысячу лет.
Метод чакравалы — одно из величайших достижений донаучной математики. Брахмагупта не только решил сложнейшие диофантовы уравнения, но и заложил основы для будущих открытий Лагранжа и Гаусса. Ирония истории: несмотря на это, уравнение названо в честь Пелля, который даже не знал о его существовании. Хотя Пелль не имеет отношения к этим уравнениям, название осталось в истории математики как пример «ошибки Эйлера».
Пьер Ферма (XVII век) сыграл ключевую роль в популяризации уравнений в Европе XVII века. Хотя он не был первым, кто изучал эти уравнения, именно его вызов математикам привлёк к ним всеобщее внимание и стимулировал развитие методов решения. В 1657 году Ферма отправил письма нескольким учёным (включая Бернара Френикля де Бесси и Джона Валлиса), где предложил две проблемы:
- Найти все целые решения уравнения x^2−Dy^2=1 для не-квадратного D.
- Найти общий метод решения таких уравнений.
Это был типичный для Ферма стиль — бросать вызов коллегам, чтобы продвинуть математику. Первые успехи принадлежали Уильяму Броункеру и Джону Валлису, которые независимо разработали метод, основанный на цепных дробях.
Хотя сам Ферма не опубликовал строгих доказательств, он:
- Угадал, что уравнение всегда имеет бесконечно много решений (доказал Лагранж в 1768 г.).
- Нашёл фундаментальные решения для многих D (например, D=109). Ферма ошибался в некоторых случаях (например, для D=313 он не знал точного решения), но его интуиция была поразительно точной. Компьютерные вычисления подтвердили большинство его примеров.
Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) в 1768 году завершил многовековую эпопею изучения уравнения Пелля, строго доказав, что:
Для любого натурального D (не являющегося полным квадратом) уравнение x^2−Dy^2=1 имеет бесконечно много целых решений (x,y).
Этот результат стал одним из первых великих триумфов алгебраической теории чисел.
Применение
- Криптография
В некоторых алгоритмах используются свойства уравнений Пелля для генерации ключей. - Физика и инженерия
Встречаются в задачах о резонансных частотах и квантовой механике.