Интерактивная обучающая презентация
О справочнике
Модуль числа — абсолютная величина, расстояние от нуля на числовой прямой. В этом справочнике собраны все основные типы уравнений с модулем.
Определение
|a| = a, если a ≥ 0
|a| = -a, если a < 0
График
y = |x| — "уголок" с вершиной в (0,0)
График y = |x|
Модуль как расстояние
|x - a| — расстояние между x и a на числовой прямой
Пример: |x - 2| = 5
Ищем точки на расстоянии 5 от точки 2.
x - 2 = 5 → x = 7
x - 2 = -5 → x = -3
Ответ: -3 и 7
Числовая прямая: точки на расстоянии 5 от 2
|f(x)| = a (a ≥ 0)
|f(x)| = a ⇔ f(x) = a или f(x) = -a
Пример 1: |2x - 5| = 7
1
2x - 5 = 7 → 2x = 12 → x = 6
2
2x - 5 = -7 → 2x = -2 → x = -1
Ответ: x = -1, 6
Пример 2: |x² - 4| = 5
1
x² - 4 = 5 → x² = 9 → x = ±3
2
x² - 4 = -5 → x² = -1 → нет решений
Ответ: x = -3, 3
График |2x-5| и прямая y = 7
|f(x)| = g(x)
⚠️ Важно: g(x) ≥ 0 (модуль неотрицателен)
|f(x)| = g(x) ⇔ [g(x) ≥ 0 и (f(x) = g(x) или f(x) = -g(x))]
Пример: |x + 1| = 2x - 4
1
ОДЗ: 2x - 4 ≥ 0 → x ≥ 2
2
Случай 1: x + 1 = 2x - 4 → x = 5 (≥2) ✓
3
Случай 2: x + 1 = -(2x - 4) → x + 1 = -2x + 4 → 3x = 3 → x = 1 (<2) ✗
Ответ: x = 5
График |x+1| и прямой 2x-4
|f(x)| = |g(x)|
|f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) или f(x) = -g(x)
Пример: |x² - 4| = |x + 2|
1
x² - 4 = x + 2 → x² - x - 6 = 0 → x = -2, 3
2
x² - 4 = -(x + 2) → x² + x - 2 = 0 → x = -2, 1
3
Объединяем: x = -2, 1, 3
Ответ: x = -2, 1, 3
Пример: |3x - 1| = |2x + 5|
1
3x - 1 = 2x + 5 → x = 6
2
3x - 1 = -(2x + 5) → 3x - 1 = -2x - 5 → 5x = -4 → x = -0.8
Ответ: x = -0.8, 6
Графики |x²-4| и |x+2|
Практикум
1
|3x - 7| = 5
3x-7 = 5 → x = 4
3x-7 = -5 → x = 2/3
Ответ: 2/3, 4
3x-7 = -5 → x = 2/3
Ответ: 2/3, 4
2
|2x - 3| = x - 1
ОДЗ: x ≥ 1
2x-3 = x-1 → x=2 (≥1) ✓
2x-3 = -x+1 → 3x=4 → x=4/3 (≥1) ✓
Ответ: 2, 4/3
2x-3 = x-1 → x=2 (≥1) ✓
2x-3 = -x+1 → 3x=4 → x=4/3 (≥1) ✓
Ответ: 2, 4/3
3
|x² - 1| = |x + 1|
x²-1 = x+1 → x²-x-2=0 → x=-1,2
x²-1 = -x-1 → x²+x=0 → x=0,-1
Ответ: -1, 0, 2
x²-1 = -x-1 → x²+x=0 → x=0,-1
Ответ: -1, 0, 2
4
|x - 2| = √x
ОДЗ: x ≥ 0
x-2 = √x → x-√x-2=0 → √x=2 → x=4
x-2 = -√x → x+√x-2=0 → √x=1 → x=1
Ответ: 1, 4
x-2 = √x → x-√x-2=0 → √x=2 → x=4
x-2 = -√x → x+√x-2=0 → √x=1 → x=1
Ответ: 1, 4
5
||x - 2| - 3| = 1
|x-2|-3 = 1 → |x-2|=4 → x=-2,6
|x-2|-3 = -1 → |x-2|=2 → x=0,4
Ответ: -2, 0, 4, 6
|x-2|-3 = -1 → |x-2|=2 → x=0,4
Ответ: -2, 0, 4, 6
6
|x - a| = 2
x - a = 2 → x = a+2
x - a = -2 → x = a-2
Ответ: a-2, a+2
x - a = -2 → x = a-2
Ответ: a-2, a+2
График ||x-2|-3| (двойной модуль) и прямая y=1