Условная вероятность

От /

Условная вероятность одно из важнейших понятий теории вероятностей, которое позволяет учитывать дополнительную информацию о наступлении другого события при оценке шансов события А.

Понятие условной вероятности возникло в работах математиков XVII–XVIII веков, связанных с анализом азартных игр и демографических данных.

  • Томас Байес (1701–1761) разработал теорему, связывающую условные вероятности (теорема Байеса).
  • Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) формализовал теорию вероятностей, включая условные вероятности.

Современное определение основано на аксиоматике А. Н. Колмогорова (1933).

Условная вероятность — это вероятность наступления события при условии, что другое событие уже произошло. Обозначается как P(A∣B) — вероятность события AA при условии BB.

Формула: P(A∣B)=P(A∩B)/P(B), P(B)≠0,

где:

  • P(A∩B)— вероятность одновременного наступления A и B,
  • P(B) — вероятность события B.

Если P(B)=0, то условная вероятность не определена.

Условная вероятность: теория и практика

Условная вероятность

Изучаем на реальных примерах с пошаговыми решениями
1

Медицинская диагностика

В популяции 2% людей болеют заболеванием. Тест определяет болезнь с точностью 95%, но у 3% здоровых дает ложноположительный результат.
Если тест положительный, какова вероятность реально иметь заболевание?
2%
95%
3%
P(болезнь) = 0.02
P(здоров) = 1 — P(болезнь) = 0.98
P(+|болезнь) = 0.95
P(+|здоров) = 0.03
P(болезнь|+) = (0.95 × 0.02) / (0.95 × 0.02 + 0.03 × 0.98)
P(болезнь|+) = 0.392 = 39.2%
Вероятность болезни при положительном тесте: 39.2%
💡 Даже при точном тесте вероятность болезни может быть низкой, если заболевание редкое!
2

Школьники и отличники

В классе 30 учеников: 16 девочек и 14 мальчиков. Среди девочек 6 отличниц, среди мальчиков — 4 отличника.
Какова вероятность, что случайно выбранный отличник окажется девочкой?
16
6
4
Всего отличников
10
Мальчиков в классе
14
Всего отличников: 6 + 4 = 10
Отличниц-девочек: 6
P(девочка|отличник) = 6 / 10
P(девочка|отличник) = 0.6 = 60%
Отличник окажется девочкой: 60%
💡 Вероятность не зависит от общего количества учеников, только от соотношения отличников!
3

Погода и опоздания

В дождливые дни вероятность опоздать на работу 40%, в солнечные — 15%. Дождь идет 20% дней.
Сотрудник опоздал. Какова вероятность, что сегодня дождь?
20%
40%
15%
Солнечных дней
80%
Всего опозданий
20%
P(дождь) = 0.2, P(солнце) = 0.8
P(опоздание|дождь) = 0.4
P(опоздание|солнце) = 0.15
P(дождь|опоздание) = (0.4 × 0.2) / (0.4 × 0.2 + 0.15 × 0.8)
P(дождь|опоздание) = 0.364 = 36.4%
При опоздании сегодня дождь: 36.4%
💡 Даже при опоздании более вероятен солнечный день, так как их больше!
4

Фильтрация спама

Алгоритм определяет спам с точностью 98%. 10% всех писем — спам. В 1% случаев алгоритм ошибочно помечает нормальные письма как спам.
Если письмо помечено как спам, какова вероятность, что это действительно спам?
10%
98%
1%
Нормальных писем
90%
Писем в спаме
10.7%
P(спам) = 0.1, P(нормальное) = 0.9
P(помечено|спам) = 0.98
P(помечено|нормальное) = 0.01
P(спам|помечено) = (0.98 × 0.1) / (0.98 × 0.1 + 0.01 × 0.9)
P(спам|помечено) = 0.916 = 91.6%
Письмо в спаме действительно спам: 91.6%
💡 Фильтр эффективен, но примерно каждое 10-е письмо в спаме — ложное срабатывание!
5

Надежность системы

Система состоит из двух компонентов. Компонент A работает с вероятностью 95%, компонент B — 90%. Система работает, если работают оба компонента.
Если система не работает, какова вероятность, что сломался только компонент B?
95%
90%
Система работает
85.5%
Система сломана
14.5%
P(A) = 0.95, P(B) = 0.9
P(система работает) = 0.95 × 0.9 = 0.855
P(только B сломан) = P(A) × (1 — P(B)) = 0.95 × 0.1 = 0.095
P(только B|сломана) = 0.095 / (1 — 0.855)
P(только B|сломана) = 0.655 = 65.5%
Система сломана → Только B не работает: 65.5%
💡 В 2/3 случаев сбоя виноват только компонент B — хорошая цель для улучшения!
↑

Дополнительно

Источник: https://mse.msu.ru/wp-content/uploads/2020/11/Лекция-2.-Алгебра-событий.pdf

Источник: https://ptlab.mccme.ru/sites/ptlab.mccme.ru/files/ob_uslovnoy_veroyatnosti.pdf

Источник: https://100ballnik.com/wp-content/uploads/2023/09/10_klass_Blok_4_Uslovnaya_veroyatnost.pdf

Источник: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/100372/1/978-5-7996-3189-5_2021.pdf

Прокрутить вверх