Рассмотрим базовые понятия и типовые задания.

История понятия вектора

Предыстория (XVII-XVIII вв.): Физические величины, имеющие направление (сила, скорость), использовались в механике Ньютона и Лейбница, но без строгой математической формализации.

Герман Грасман (1844): Немецкий математик создал первую общую теорию векторных пространств в работе «Учение о протяженности» («Die Lineale Ausdehnungslehre»), но его работа была слишком абстрактной и не была оценена современниками.

Уильям Роуэн Гамильтон (1843): Ирландский математик ввел кватернионы — систему чисел, обобщающую комплексные. Векторное исчисление выросло из векторной части кватернионов. Именно Гамильтон ввел термины «vector» (от лат. «vehere» — «нести») и «scalar» (от лат. «scale» — «лестница»).

Джозайя Гиббс и Оливер Хевисайд (1880-е): Независимо друг от друга разработали современное векторное исчисление, отделив его от теории кватернионов. Они ввели основные операции: скалярное и векторное произведения.

Значение: Векторы позволили компактно записывать и решать физические задачи в механике, электродинамике и других областях.

---

Вектор — это направленный отрезок, характеризующийся:длиной (модулем) |a| и направлением. Обозначается: a, AB (вектор из точки A в точку B), ā.

Нулевой вектор (0) — вектор, начало и конец которого совпадают. Его длина равна 0, направление не определено.

Координаты вектора — это числа, показывающие, на сколько нужно переместиться вдоль каждой оси, чтобы от начала вектора дойти до его конца.

Если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то координаты вектора AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁)

Равные векторы — векторы, имеющие одинаковые длину и направление. Их координаты равны.

Векторы a(x₁; y₁) и b(x₂; y₂) коллинеарны (параллельны), если их соответствующие координаты пропорциональны:
x₁ / x₂ = y₁ / y₂  или   x₁·y₂ = x₂·y₁

---

Действия с векторами в координатах

Пусть даны векторы a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂).

Сложение векторов

Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответствующие координаты.
a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂)

Правило треугольника: Конец первого вектора совпадает с началом второго. Суммой будет вектор из начала первого в конец второго.
Правило параллелограмма: Векторы выходят из одной точки; на них строится параллелограмм; сумма — диагональ этого параллелограмма.

Вычитание векторов

Чтобы вычесть два вектора, нужно вычесть их соответствующие координаты.
a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂)

Геометрически: a - b = a + (-b), где -b — вектор, противоположный b.

Умножение вектора на число (скаляр)

Чтобы умножить вектор на число k, нужно умножить на это число каждую координату.
k · a = (k·x₁; k·y₁)

• Если k > 0, вектор k·a сонаправлен с a, его длина в k раз больше.
• Если k < 0, вектор k·a противоположно направлен a, его длина в |k| раз больше.

Модуль (длина) вектора

Модуль вектора a = (x; y) вычисляется по теореме Пифагора:
|a| = √(x² + y²) — это расстояние от начала вектора до его конца.

Пример: Найти длину вектора a(3; -4).
|a| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение — это число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.
a · b = |a| · |b| · cos(α)

или вычисление через координаты:

a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂

Свойства:

• a · b = b · a (коммутативность)
• a · a = |a|²
• Если a ⟂ b (перпендикулярны), то a · b = 0 (и наоборот!). Это часто используется для доказательства перпендикулярности.

Пример: Даны векторы a(1; 2) и b(3; -1). Найти их скалярное произведение.
a · b = 1·3 + 2·(-1) = 3 - 2 = 1

Угол между векторами

Из формулы скалярного произведения можно найти косинус угла:
cos(α) = (a · b) / (|a| · |b|) = (x₁·x₂ + y₁·y₂) / (√(x₁²+y₁²) · √(x₂²+y₂²))

Пример: Найти угол между векторами a(1; 3) и b(2; 1).

1. a · b = 1·2 + 3·1 = 5
2. |a| = √(1²+3²) = √10
3. |b| = √(2²+1²) = √5
4. cos(α) = 5 / (√10 · √5) = 5 / √50 = 5 / (5√2) = 1/√2 = √2/2
5. α = arccos(√2/2) = 45°

---

Применение

Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении

Это важнейшая практическая задача, которая часто возникает в компьютерной графике, геометрическом моделировании и физике.

Пусть точка C(x; y) делит отрезок AB, где A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), в отношении λ = AC / CB.

Формулы деления отрезка:
x = (x₁ + λ·x₂) / (1 + λ)
y = (y₁ + λ·y₂) / (1 + λ)

Важный частный случай — координаты середины отрезка (λ = 1):
x = (x₁ + x₂) / 2
y = (y₁ + y₂) / 2

Задача: Построить дополнительную вершину M на ребре между A(1, 2, 3) и B(4, 6, 8), которая делит ребро в отношении 1:3.

Решение

m = 1, n = 3

x = (3·1 + 1·4)/(1 + 3) = (3 + 4)/4 = 7/4 = 1.75
y = (3·2 + 1·6)/(1 + 3) = (6 + 6)/4 = 12/4 = 3.00
z = (3·3 + 1·8)/(1 + 3) = (9 + 8)/4 = 17/4 = 4.25

Ответ: M(1.75, 3.00, 4.25)

Ключевые применения в реальных задачах

• Компьютерное зрение: Построение сеток и разметка изображений
• Анимация и графика: Интерполяция между ключевыми кадрами
• Геодезия: Разбивка участков на местности
• Навигация: Расчет промежуточных точек маршрута
• Физика: Нахождение центра масс, точек приложения сил
• Машинное обучение: Линейная интерполяция в пространстве признаков

---

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) равно длине вектора AB:
d = |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Пример: Найти расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6).
d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5

Задача: Определить, является ли лицо на изображении реальным или поддельным на основе расстояния между ключевыми точками.

Задача: Рассчитать оптимальное расположение склада для обслуживания 3 магазинов.

---

.

---

Дополнительно

Источник: https://bvp1234.ucoz.ru/Vektor/vektory_lekcii.pdf

---

Источник: https://3.shkolkovo.online/st/6/o/2Векторы__Теория__3zsyp.pdf

---

Источник: https://mathprofi.com/knigi_i_kursy/files/angem_demo.pdf