Игральные кости (кубики) — один из самых наглядных инструментов для изучения теории вероятностей. Разберём 5 практических задач с разным уровнем сложности.
🎲 Вероятность в играх с кубиками
📘 Теоретическая основа
Игральный кубик — правильный шестигранный кубик с гранями от 1 до 6.
Классическая вероятность: P(A) = благоприятные исходы / все исходы
При броске двух кубиков — 36 возможных исходов: (1,1), (1,2), …, (6,6).
Независимость: результат одного кубика не влияет на другой.
📊 Сводная таблица формул
| Ситуация | Формула / Подход |
|---|---|
| Одно число на 1 кубике | 1/6 16.67% |
| Сумма = 7 (2 кубика) | 6/36 = 1/6 16.67% |
| Хотя бы одна «6» за 2 броска | 1 — (5/6)² = 11/36 30.56% |
| Ровно k успехов за n бросков | C(n,k) × (1/6)^k × (5/6)^(n-k) |
| Условная вероятность | P(A|B) = P(A и B) / P(B) |
🔹 Группа 1–2: Один и два кубика
Задача 1: Вероятность, что выпадет число, делящееся на 3?
Решение: Исходы {3, 6} → P = 2/6 = 1/3 33.33%
Решение: Исходы {3, 6} → P = 2/6 = 1/3 33.33%
Задача 2: Пройти ровно 5 клеток в настольной игре?
Ответ: 1/6 16.67%
Ответ: 1/6 16.67%
Задача 3: Сумма двух кубиков = 8?
Решение: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → P = 5/36 13.89%
Решение: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → P = 5/36 13.89%
Задача 4 (Монополия): Пропустить ход при сумме 2 или 12?
Ответ: 2/36 = 1/18 5.56%
Ответ: 2/36 = 1/18 5.56%
🔹 Группа 3–5: «Хотя бы один», условные и повторные броски
Задача 5: Хотя бы одна «6» при двух бросках?
Решение: 1 — (5/6)² = 11/36 30.56%
Решение: 1 — (5/6)² = 11/36 30.56%
Задача 6 (ролевая игра): Крит. успех — хотя бы одна «1» из трёх кубиков?
Ответ: 1 — (5/6)³ = 91/216 42.13%
Ответ: 1 — (5/6)³ = 91/216 42.13%
Задача 7: Сумма чётная → какова вероятность, что оба чётные?
Решение: 9/18 = 1/2 50%
Решение: 9/18 = 1/2 50%
Задача 8: «6» ровно два раза за 4 броска?
Решение: C(4,2) × (1/6)² × (5/6)² = 25/216 11.57%
Решение: C(4,2) × (1/6)² × (5/6)² = 25/216 11.57%
🔹 Группа 6–7: Нестандартные и игровые сценарии
Задача 9: Известно, что хотя бы одна «6». Какова вероятность, что обе «6»?
Ответ: 1/11 9.09%
Ответ: 1/11 9.09%
Задача 10: Кубик перебрасывают, если ≤3. Вероятность итога ≥4?
Решение: 1/2 + 1/2 × 1/2 = 3/4 75%
Решение: 1/2 + 1/2 × 1/2 = 3/4 75%
Задача 11: Алиса и Боб бросают кубики. Вероятность ничьей?
Ответ: 6/36 = 1/6 16.67%
Ответ: 6/36 = 1/6 16.67%
Задача 12: Стратегия переброса при ≤3. Итог ≥4?
Итог: 3/4 75%
Итог: 3/4 75%