Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду.
○
Радиус: \( R = \sqrt{6} \)
↔️
Хорда: \( AB = 3\sqrt{2} \)
∠
Найти: тупой вписанный угол
Теория через дугу
Формула хорды через центральный угол
\[ AB = 2R \sin\frac{\alpha}{2} \]
где \( \alpha \) — центральный угол (в градусах), опирающийся на хорду AB.
Вписанный угол через дугу
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:
\[ \beta = \frac{\text{дуга}}{2} \]
Тупой вписанный угол опирается на дугу больше 180°.
Решение через дугу
1
Находим центральный угол \( \alpha \), соответствующий хорде AB:
\[ AB = 2R \sin\frac{\alpha}{2} \]
\[ 3\sqrt{2} = 2\sqrt{6} \cdot \sin\frac{\alpha}{2} \]
2
Выражаем \( \sin\frac{\alpha}{2} \):
\[ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
3
Находим \( \frac{\alpha}{2} \):
\[ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\alpha}{2} = 60^\circ \text{ или } 120^\circ \]
Так как \( \frac{\alpha}{2} \leq 180^\circ \), берём меньший угол:
\[ \frac{\alpha}{2} = 60^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha = 120^\circ \]
4
Это центральный угол для меньшей дуги AB. Длина меньшей дуги: 120°.
Тупой вписанный угол опирается на большую дугу AB:
\[ \text{Большая дуга} = 360^\circ — 120^\circ = 240^\circ \]
5
Тупой вписанный угол равен половине большой дуги:
\[ \beta = \frac{240^\circ}{2} = 120^\circ \]
Тупой вписанный угол:
120°
∠ = 120°