Стороны АВ, ВС, СВ и АD четырёхугольника АВС и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 46°, 115°, 122°, 77°. Найдите угол АВС.
⬢
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность
◡
Дуга AB = 46°
◡
Дуга BC = 115°
◡
Дуга CD = 122°
◡
Дуга AD = 77°
🎯
Найти: ∠ABC
Теория
Вписанный угол
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
\[ \angle ABC = \frac{\overset{\frown}{ADC}}{2} \]
где \(\overset{\frown}{ADC}\) — дуга между точками A и C, проходящая через точку D.
Решение
1
Угол ABC опирается на дугу ADC (противоположную вершине B).
Найдём дугу ADC:
\[ \overset{\frown}{ADC} = \overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DC} \]
2
Подставляем значения дуг:
\[ \overset{\frown}{AD} = 77^\circ,\quad \overset{\frown}{DC} = 122^\circ \]
\[ \overset{\frown}{ADC} = 77^\circ + 122^\circ = 199^\circ \]
3
Находим угол ABC как вписанный угол:
\[ \angle ABC = \frac{\overset{\frown}{ADC}}{2} = \frac{199^\circ}{2} = 99.5^\circ \]
4
Проверка: сумма всех дуг окружности должна быть 360°.
\[ 46^\circ + 115^\circ + 122^\circ + 77^\circ = 360^\circ \]
Всё верно.
Угол ABC равен:
99,5°
\( \angle ABC = 99,5^\circ \)