Круги Эйлера-Венна: задачи

От /

Решение задач с помощью кругов Эйлера (или диаграмм Венна) — это мощный визуальный метод, особенно эффективный в комбинаторике, теории множеств и условной вероятности.

Примеры решения задач с помощью кругов Эйлера

Примеры решения задач с помощью кругов Эйлера

Подробные решения с визуализацией и пошаговыми объяснениями

🎯 Задача 1: Учащиеся и кружки

Условие: В классе 35 учащихся. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 — в биологическом, а 10 не посещают ни один из этих кружков. Сколько учащихся занимаются и в математическом, и в биологическом кружках?
1
Анализ условия:

Всего: 35 учащихся

Математика: 20

Биология: 11

Ничего: 10

2
Строим диаграмму Эйлера:
М
Б
Всего: 35
20 — x
11 — x
x
10
3
Составляем уравнение:

Сумма всех частей диаграммы должна равняться общему количеству учащихся:

(20 — x) + x + (11 — x) + 10 = 35
20 — x + x + 11 — x + 10 = 35
41 — x = 35
4
Решаем уравнение:
x = 41 — 35 = 6
Ответ: 6 учащихся занимаются и в математическом, и в биологическом кружках.

🎯 Задача 2: Читатели журналов

Условие: Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским — 28, французским — 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским — 10, немецким и французским — 5, всеми тремя языками — 3. Сколько туристов не владеют ни одним из этих языков?
1
Анализ условия:

Всего: 100 туристов

Немецкий (Н): 30

Английский (А): 28

Французский (Ф): 42

А∩Н: 8, А∩Ф: 10, Н∩Ф: 5

А∩Н∩Ф: 3

2
Строим диаграмму Эйлера для трех множеств:
А
Н
Ф
3
А только
Н только
Ф только
3
Вычисляем количество туристов, владеющих только двумя языками:
Только А∩Н: 8 — 3 = 5
Только А∩Ф: 10 — 3 = 7
Только Н∩Ф: 5 — 3 = 2
4
Вычисляем количество туристов, владеющих только одним языком:
Только А: 28 — (5 + 3 + 7) = 13
Только Н: 30 — (5 + 3 + 2) = 20
Только Ф: 42 — (7 + 3 + 2) = 30
5
Находим общее количество туристов, владеющих хотя бы одним языком:
13 + 20 + 30 + 5 + 7 + 2 + 3 = 80
6
Находим количество туристов, не владеющих ни одним языком:
100 — 80 = 20
Ответ: 20 туристов не владеют ни одним из этих языков.

🎯 Задача 3: Спортивные секции

Условие: В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 — в хоккей, 18 — в футбол. Увлекаются двумя видами спорта — баскетболом и хоккеем — 4 человека, баскетболом и футболом — 3, хоккеем и футболом — 5. Трое не увлекаются ни одним из этих видов спорта. Сколько человек увлекаются всеми тремя видами спорта?
1
Вводим обозначения и строим диаграмму:

Пусть x — количество человек, увлекающихся всеми тремя видами спорта.

Области на диаграмме:

• Только баскетбол: 16 — (4-x + 3-x + x) = 9 + x

• Только хоккей: 17 — (4-x + 5-x + x) = 8 + x

• Только футбол: 18 — (3-x + 5-x + x) = 10 + x

• Баскетбол+хоккей: 4 — x

• Баскетбол+футбол: 3 — x

• Хоккей+футбол: 5 — x

• Все три: x

• Ничего: 3

x
2
Составляем уравнение:

Сумма всех частей равна общему количеству учащихся:

(9+x) + (8+x) + (10+x) + (4-x) + (3-x) + (5-x) + x + 3 = 38
3
Упрощаем уравнение:
9 + x + 8 + x + 10 + x + 4 — x + 3 — x + 5 — x + x + 3 = 38
(9+8+10+4+3+5+3) + (x+x+x-x-x-x+x) = 38
42 + x = 38
4
Решаем уравнение:
x = 38 — 42 = -4
💡 Важный момент: Получили отрицательное значение. Это означает, что в условии задачи есть противоречие. Проверьте правильность данных!
Ответ: Задача не имеет решения с данными числами. Возможно, ошибка в условии.

🎯 Задача 4: Простые множества

Условие: В группе из 40 студентов 23 любят кофе, 25 — чай, а 19 — и кофе, и чай. Сколько студентов не любят ни кофе, ни чай?
1
Строим диаграмму Эйлера:
Кофе
Чай
23-19=4
25-19=6
19
?
2
Находим количество студентов, любящих хотя бы один напиток:
Только кофе: 23 — 19 = 4
Только чай: 25 — 19 = 6
Любят хотя бы один: 4 + 6 + 19 = 29
3
Находим количество студентов, не любящих ни один напиток:
40 — 29 = 11
Ответ: 11 студентов не любят ни кофе, ни чай.
💡 Проверка: Можно использовать формулу включений-исключений:
|A∪B| = |A| + |B| — |A∩B| = 23 + 25 — 19 = 29
Тогда не любят ни одного: 40 — 29 = 11

💡 Советы по решению задач с помощью кругов Эйлера

1. Начинайте с центра

Если в задаче есть пересечение всех множеств, начинайте заполнение диаграммы с центральной области.

2. Двигайтесь от известного к неизвестному

Заполняйте области, для которых известны точные значения, затем переходите к вычислению остальных.

3. Проверяйте сумму

Сумма всех чисел на диаграмме должна равняться общему количеству элементов универсального множества.

4. Используйте формулу включений-исключений

Для проверки: |A∪B| = |A| + |B| — |A∩B|

Для трех множеств: |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| — |A∩B| — |A∩C| — |B∩C| + |A∩B∩C|

5. Внимание к формулировкам

«Из них 8 человек знают оба языка» обычно означает |A∩B| = 8

«Знают английский и немецкий» может означать как оба языка, так и хотя бы один из них

Прокрутить вверх