Задачи на смеси, растворы и сплавы часто встречаются в школьной математике и химии. Они требуют умения работать с концентрациями, процентным содержанием и пропорциями. Рассмотрим основные типы таких задач и методы их решения.
Основные понятия
- Предполагаем, что все получающиеся сплавы или смеси однородны.
- Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих.
- Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V1 + V2 –
сохраняется объем; m = m1+ m2 – сохраняется масса., что отражает закон сохранения массы. - Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.).
- Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и
общей массы (объему) смеси. Часто относительное содержание вещества в смеси называют концентрацией или процентным содержанием. - Концентрация – доля вещества в смеси (растворе, сплаве). Может выражаться в процентах или долях единицы. Например, если мы в 120 г воды добавим 30 г поваренной соли ( NaCl ), то общая масса раствора станет 150 г, а концентрация соли в растворе 30:150=0,2 — дробью или 20%. Оба ответа приемлемы.
- Сумма массовых долей всех компонент, составляющих смесь, равна единице.
Замечание по терминологии: процентное содержание вещества; концентрация вещества; массовая доля вещества — это синонимы.
Основные типы задач
Тип 1. Изменение концентрации (добавление/удаление компонента)
`1.1. К 180 г воды добавили 20 г соли. Определите процентное содержание соли в этом растворе.
Дано:
- Масса воды: 180 г
- Масса соли: 20 г
Найти:
- Процентное содержание соли в растворе.
Решение:
| Компонент | Масса (г) | Концентрация соли (%) | Масса соли (г) |
|---|---|---|---|
| Вода | 180 | 0 | 0 |
| Соль | 20 | 100 | 20 |
| Раствор | 200 | x | 20 |
- Найдем общую массу раствора.
- Общая масса = масса воды + масса соли = 180+20=200 г.
- Определим процентное содержание соли.
- Процент соли = масса соли/общая масса×100%=20/200×100%=10%
Ответ: процентное содержание соли в растворе составляет 10%.
Пример задачи 2. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 50 кг морской воды, чтобы содержание соли в полученной воде составило 2%?
Решение
| Компонент | Масса (кг) | Концентрация соли (%) | Масса соли (кг) |
|---|---|---|---|
| Морская вода | 50 | 5 | 0.05×50=2.5 |
| Пресная вода | x | 0 | 0 |
| Смесь | 50+x | 2 | 0.02(50 + x) |
1. Находим массу соли в исходной морской воде
Морская вода содержит 5% соли, значит: mсоли=50×0,05=2,5 кг. (Эта величина не изменится после добавления пресной воды, так как соль не испаряется и не добавляется.)
2. Записываем условие для нового раствора
После добавления x кг пресной воды:
- Общая масса нового раствора: 50+x кг
- Концентрация соли в новом растворе: 2%
3. Решаем уравнение
Ответ: нужно добавить 75 кг пресной воды.
Проверка:
- Новая масса раствора: 50+75=125 кг
- Концентрация соли: 2,5/125×100%=2%
Всё сходится! ✅
Краткий алгоритм:
- Найти массу чистого вещества (соли) в исходном растворе.
- Обозначить неизвестную массу добавляемого компонента (x).
- Записать уравнение на основе новой концентрации.
- Решить уравнение и проверить результат.
1.2. К 30% раствору серной кислоты добавили 60 г воды и получили 10% раствор. Определите массу первоначального раствора.
Дано:
- Первоначальный раствор: 30% серной кислоты
- Добавили 60 г воды
- Получили 10% раствор
Найти:
- Массу первоначального раствора (пусть xx г).
Решение:
| Компонент | Масса (г) | Концентрация кислоты (%) | Масса кислоты (г) |
|---|---|---|---|
| Исходный раствор | x | 30 | 0.3x |
| Вода | 60 | 0 | 0 |
| Смесь | x+60 | 10 | 0.1(x + 60) |
- Пусть масса первоначального раствора равна xx г.
- Тогда масса кислоты в нём: 0,3x г (так как 30%).
- После добавления 60 г воды общая масса раствора становится x+60 г.
- Масса кислоты остаётся неизменной: 0,3x г.
- В новом растворе концентрация кислоты 10%, поэтому:
Ответ: масса первоначального раствора составляет 30 г.
1.3. Какое количество воды надо добавить к 3 литрам 36% раствора соли, чтобы получить 24% раствор?
Дано:
- Объём первоначального раствора: 3 л
- Концентрация соли: 36%
- Требуемая концентрация после добавления воды: 24%
Найти:
- Количество воды, которое нужно добавить (пусть xx л).
Решение:
| Компонент | Объем (л) | Концентрация соли (%) | Масса соли (кг) |
|---|---|---|---|
| Исходный раствор | 3 | 36 | 0.36×3=1.08 |
| Вода | x | 0 | 0 |
| Смесь | 3+x | 24 | 1.08 |
- Найдем массу соли в первоначальном растворе.
- Поскольку концентрация дана в процентах, а объём в литрах, предположим, что плотность раствора близка к плотности воды (1 кг/л), поэтому масса раствора примерно равна его объёму в кг. Таким образом, масса первоначального раствора ≈ 3 кг.
- Масса соли = 36% от 3 кг = 0,36×3=1,08 кг.
- После добавления xx литров воды (масса x кг) общая масса раствора станет 3+x кг.
- Масса соли останется неизменной: 1,08 кг.
- В новом растворе концентрация соли должна быть 24%, поэтому:
Ответ: нужно добавить 1,5 литра воды.
Тип 2. Смешивание растворов разной концентрации
2.1. В колбе было 140 г 10%-го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее долили 60 г 30%-го раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе
Дано:
- Первый раствор: 140 г, 10% марганцовки
- Второй раствор: 60 г, 30% марганцовки
Найти:
- Концентрацию марганцовки в полученном растворе (%).
Решение
| Компонент | Масса (г) | Концентрация (%) | Масса марганцовки (г) |
|---|---|---|---|
| Первый раствор | 140 | 10 | 0.1×140=14 |
| Второй раствор | 60 | 30 | 0.3×60=18 |
| Смесь | 200 | x | 32 |
Расчет:
- Общая масса смеси: 140+60=200 г
- Общая масса марганцовки: 14+18=32 г
- Концентрация смеси (x): x=32/200×100%=16%
Ответ: концентрация марганцовки в полученном растворе составляет 16%
2.2 Один раствор содержит 20% соли, а второй — 70%. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50%-го солевого раствора?
Дано:
- Первый раствор: 20% соли
- Второй раствор: 70% соли
- Нужно получить: 100 г раствора с 50% соли
Найти:
- Массу первого раствора (m1)
- Массу второго раствора (m2)
| Компонент | Масса (г) | Концентрация соли (%) | Масса соли (г) |
|---|---|---|---|
| Первый раствор | m1 | 20 | 0.2m1 |
| Второй раствор | m2 | 70 | 0.7m2=0,7(100-m1) |
| Смесь | 100 | 50 | 0.5 × 100 = 50 |
Решение
Ответ: нужно взять 40 г первого раствора (20%) и 60 г второго раствора (70%).
2.3. Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали:
а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога,
б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.
Дано:
- Жирный творог: 20% жира
- Нежирный творог: 5% жира
Найти процент жирности смеси для двух случаев:
а) Смешали 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога
Решение табличным способом:
| Компонент | Масса (кг) | Концентрация жира (%) | Масса жира (кг) |
|---|---|---|---|
| Жирный творог | 2 | 20 | 0.2×2=0.4 |
| Нежирный творог | 3 | 5 | 0.05×3=0.15 |
| Смесь | 5 | x | 0.55 |
- Общая масса смеси: 2+3=5 кг
- Общая масса жира: 0.4+0.15=0.55 кг
- Процент жирности:x=0.55/5×100%=11%
Ответ для (а):11%
б) Смешали 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога
Решение табличным способом:
| Компонент | Масса (кг) | Концентрация жира (%) | Масса жира (кг) |
|---|---|---|---|
| Жирный творог | 3 | 20 | 0.2×3=0.6 |
| Нежирный творог | 2 | 5 | 0.05×2=0.1 |
| Смесь | 5 | x | 0.7 |
- Общая масса смеси: 3+2=5 кг
- Общая масса жира: 0.6+0.1=0.7 кг
- Процент жирности:x=0.7/5×100%=14%
Ответ для (б):14%
Тип 3. Выпаривание
При решении этих задач надо помнить, что все тела, вещества, продукты содержат в себе воду, которая частично испаряется. Поэтому при решении этих задач мы каждый раз разделяем данное нам вещество на воду и «сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи.
Пример задачи. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
| Показатель | До сушки | После сушки |
|---|---|---|
| Общая масса, кг | 8 | xx |
| Влажность, % | 85 | 20 |
| Масса воды, кг | 0.85×8=6.8 | 0.2x |
| Масса сухого вещества, кг | 8−6.8=1.2 | x−0.2x=0.8x |
Ключевой момент: Масса сухого вещества не меняется при сушке.
1.2=0.8x
Решаем уравнение: x=1.2/0.8=1.5
Ответ: масса цветков ромашки после сушки составляет 1.5 кг.
3.1. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания?
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Начальная масса грибов: 140 кг
- Начальная влажность: 98%
- Конечная влажность: 93%
Найти:
- Конечную массу грибов после подсушивания.
Решение:
- Определим массу сухого вещества (не воды) в грибах.
- Влажность 98% означает, что 98% массы — это вода, а 2% — сухое вещество.
- Масса сухого вещества постоянна и не меняется при подсушивании.
- Масса сухого вещества = 2% от 140 кг = 0.02×140=2.8 кг.
- После подсушивания влажность стала 93%.
- Это означает, что теперь сухое вещество составляет 7% от общей массы (100% — 93% = 7%).
- Пусть x — конечная масса грибов после подсушивания. Тогда масса сухого вещества (2.8 кг) составляет 7% от x:
Ответ: масса грибов после подсушивания составила 40 кг.
3.2. Из 10 кг свежих фруктов получают 3,5 кг сушеных фруктов, содержащих 20% воды. Каково процентное содержание воды в свежих фруктах?
Дано:
- Масса свежих фруктов: 10 кг
- Масса сушеных фруктов: 3,5 кг
- Влажность сушеных фруктов: 20% воды
Найти:
- Процентное содержание воды в свежих фруктах.
Решение:
- Определим массу сухого вещества в сушеных фруктах.
- В сушеных фруктах 20% воды, значит, сухое вещество составляет 80%.
- Масса сухого вещества = 80% от 3,5 кг = 0,8×3,5=2,8 кг.
- Сухое вещество не меняется при сушке.
- Поэтому в свежих фруктах тоже содержится 2,8 кг сухого вещества.
- Общая масса свежих фруктов: 10 кг.
- Найдем массу воды в свежих фруктах.
- Масса воды = общая масса — масса сухого вещества = 10−2,8=7,2 кг.
- Найдем процентное содержание воды в свежих фруктах.
- Процент воды = масса воды/общая масса×100%=7,2/10×100%=72%
Ответ: процентное содержание воды в свежих фруктах составляет 72%.
3.3. Из 500 г 10%-ного раствора выпарили 200 г воды. Какова новая концентрация соли?
Решение
Ответ: 16,67%
Тип 4. Сплавы (замена одного металла другим)
4.1. Один сплав содержит 55% цинка, а другой 70%. После переплавки получили 750 г нового сплава с 60% содержанием цинка. Сколько грамм цинка содержалось в первом сплаве?
Дано:
- Первый сплав: 55% цинка
- Второй сплав: 70% цинка
- Масса нового сплава: 750 г
- Концентрация цинка в новом сплаве: 60%
Найти:
- Массу цинка в первом сплаве.
Решение:
- Пусть масса первого сплава xx г, тогда масса второго сплава 750−x г.
- Масса цинка в первом сплаве: 0,55x г.
- Масса цинка во втором сплаве: 0,70(750−x) г.
Ответ: в первом сплаве содержалось 275 г цинка.
4.2. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди.
Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Дано:
- Первый сплав: 15% меди
- Второй сплав: 65% меди
- Требуемая масса нового сплава: 200 г
- Концентрация меди в новом сплаве: 30%
Найти:
- Массу первого сплава (пусть x г) и массу второго сплава (пусть y г).
Решение:
Ответ: нужно взять 140 г первого сплава (15% меди) и 60 г второго сплава (65% меди).
4.3. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди.
Найдите массу третьего сплава.
Дано:
- Первый сплав: 5% меди
- Второй сплав: 13% меди
- Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг.
- Третий сплав (полученный из двух): 10% меди
Найти:
- Массу третьего сплава.
Решение:
Ответ: масса третьего сплава составляет 16 кг.
Полезные советы
- Вводите переменные, если нужно найти неизвестную величину.
- Составляйте уравнение на основе баланса массы вещества.
- Проверяйте размерности (граммы, килограммы, литры).
- Рисуйте схемы, если задача сложная (например, несколько переливаний).
Методы решения
Источник: https://koirojournal.ru/wp-content/uploads/2022/07/kvo_214-04-potkina.pdf
Презентация: https://rosuchebnik.ru/upload/iblock/23d/23d483e891c626a6341d378ff61f15bb.pdf
Источник: https://www.марьванна.рф/images/dokumenty/200/076.pdf
Задачи
Смешали 4 кг 15%-го раствора соли и 6 кг 25%-го раствора. Найдите концентрацию полученного раствора.
Решение
- Масса соли в первом растворе: 4×0,15=0,6 кг
- Масса соли во втором растворе: 6×0,25=1,5 кг
- Общая масса соли: 0,6+1,5=2,1кг
- Общая масса смеси: 4+6=10 кг
- Концентрация: 2,110×100%=21%
Ответ: 21%.
Из 200 г 10%-го раствора соли выпарили 50 г воды. Какова новая концентрация?
Решение
- Масса соли: 200×0,1=20 г
- Новая масса раствора: 200−50=150 г
- Концентрация: 20/150×100%≈13,33%
Ответ: ≈13,33%.
К 120 г 20%-го раствора сахара добавили 30 г сахара. Найдите новую концентрацию.
Решение
- Масса сахара в растворе: 120×0,2=24 г
- Общая масса сахара после добавления: 24+30=54 г
- Масса раствора: 120+30=150 г
- Концентрация: 54150×100%=36%
Ответ: 36%.
Сплав содержит 30% меди. Сколько меди нужно добавить к 200 г сплава, чтобы получить сплав с 50% меди?
Решение
Имеется 500 г 60%-го раствора кислоты. Сколько воды нужно добавить, чтобы получить 30%-й раствор?
Решение
Смешали 3 кг 10%-го и 7 кг 20%-го растворов кислоты. Найдите концентрацию полученной смеси.
Решение
- Масса кислоты в первом растворе: 3×0,1=0,3 кг
- Масса кислоты во втором растворе: 7×0,2=1,4 кг
- Общая масса кислоты: 0,3+1,4=1,7 кг
- Общая масса смеси: 3+7=10 кг
- Концентрация: 1,7/10×100%=17%
Ответ: 17%.
Влажность зерна снизилась с 25% до 15%, при этом его масса уменьшилась на 200 кг. Найдите исходную массу зерна.
Решение
Имеется два сплава золота и серебра: в первом 40% золота, во втором — 60%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 10 кг сплава с 50% золота?
Решение
В сосуде 12 л 20%-го раствора кислоты. Часть раствора заменили водой, и концентрация стала 15%. Сколько литров заменили?
Решение
Дополнительно
Источник: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/129356/1/978-5-7996-3760-6_2024.pdf