Среднее арифметическое девяти различных натуральных чисел равно 19. Среднее арифметическое этих чисел и десятого числа равно 20. Чему равно десятое число?
Калькулятор задач
Основные формулы
Ключевая идея: Сумма = Среднее × Количество.
| Тип задачи | Формула | Объяснение |
|---|---|---|
| Добавление числа | x = k(n+1) − m·n | Новая сумма минус старая сумма |
| Удаление числа | x = m·n − k(n−1) | Старая сумма минус новая сумма |
| Замена числа | Δ = n(k − m) | Изменение суммы распределяется на одно число |
• При добавлении числа среднее не может уменьшиться
• При удалении числа среднее не может увеличиться
• При замене числа среднее может как увеличиться, так и уменьшиться
Условие: Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 6. Среднее арифметическое этих чисел и шестого числа равно 7. Чему равно шестое число?
Подробное решение:
Шаг 1. Определим известные величины:
- Исходное количество чисел: n = 5
- Исходное среднее: m = 6
- Новое среднее после добавления: k = 7
Шаг 2. Найдём сумму исходных пяти чисел:
S = m · n = 6 · 5 = 30
Шаг 3. Найдём сумму шести чисел:
S_новая = k · (n+1) = 7 · 6 = 42
Шаг 4. Найдём шестое число:
x = S_новая − S = 42 − 30 = 12
Шаг 5. Проверим условие «различные натуральные числа»:
Можно подобрать пять различных натуральных чисел с суммой 30, например: 2, 3, 4, 5, 16. Шестое число 12 не совпадает с ними — условие выполнено.
Ответ: 12
Условие: Среднее арифметическое шести различных натуральных чисел равно 7. После удаления одного из чисел среднее арифметическое оставшихся пяти чисел стало равно 6. Какое число было удалено?
Подробное решение:
Шаг 1. Известные величины:
- Исходное количество: n = 6
- Исходное среднее: m = 7
- Новое среднее после удаления: k = 6
Шаг 2. Сумма шести чисел:
S = m · n = 7 · 6 = 42
Шаг 3. Сумма пяти чисел:
S_новая = k · (n−1) = 6 · 5 = 30
Шаг 4. Удалённое число:
x = S − S_новая = 42 − 30 = 12
Шаг 5. Проверка: исходные числа могут быть, например, 2, 3, 4, 5, 16, 12 — все различные натуральные. После удаления 12 остаются числа с суммой 30 и средним 6.
Ответ: 12
Условие: Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 6. Одно из чисел заменили на другое, и среднее арифметическое стало равно 7. На сколько увеличилось заменённое число?
Подробное решение:
Шаг 1. Известные величины:
- Количество чисел: n = 5
- Среднее до замены: m = 6
- Среднее после замены: k = 7
Шаг 2. Исходная сумма:
S = m · n = 6 · 5 = 30
Шаг 3. Новая сумма:
S_новая = k · n = 7 · 5 = 35
Шаг 4. Изменение суммы:
Δ = S_новая − S = 35 − 30 = 5
Это означает, что новое число больше старого на 5.
Пример: Было число 10, стало 15 — разница 5.
Ответ: на 5
Условие: Среднее арифметическое семи чисел равно 8. К набору добавили число 12, затем удалили число 5. Найдите новое среднее арифметическое.
Подробное решение:
Шаг 1. Исходная сумма:
S = m · n = 8 · 7 = 56
Шаг 2. После добавления 12:
S' = S + 12 = 56 + 12 = 68
Теперь чисел стало: 7 + 1 = 8
Шаг 3. После удаления 5:
S'' = S' − 5 = 68 − 5 = 63
Теперь чисел стало: 8 − 1 = 7
Шаг 4. Новое среднее:
k = S'' / 7 = 63 / 7 = 9
Ответ: 9