Тройное правило — один из старейших методов решения пропорциональных задач, известный ещё в древности. Оно активно использовалось в торговле, строительстве и науке. В Европе его применяли с XVI века, а в России — с XVII века, особенно в купеческих расчётах.
Тройное правило (санскр. «трайрашика») является классическим методом решения задач на пропорции, широко использовавшимся в древнеиндийской математике. Оно позволяет найти четвертую неизвестную величину, исходя из соотношений трёх известных величин по принципу: «Если A соответствует B, то чему будет соответствовать C?» — то есть найти четвёртое пропорциональное число.
📐 Тройное правило
что такое тройное правило?
Тройное правило — правило для решения арифметических задач, в которых величины связаны прямой или обратной пропорциональной зависимостью.
Простое тройное правило — задачи, в которых участвуют две величины x₁ и x₂, причём два значения a₁, a₂ одной из них и одно значение b₁ другой известны. Определению подлежит второе значение величины x₂, то есть b₂.
Простое Тройное правило основано на пропорциях:
a₁ : b₁ = a₂ : b₂ (прямая пропорциональность)
a₁ : b₁ = b₂ : a₂ (обратная пропорциональность)
откуда соответственно получаются формулы:
b₂ = (b₁ · a₂) / a₁ (прямая)
b₂ = (a₁ · b₁) / a₂ (обратная)
Сложное тройное правило применяется при решении задач, в которых участвуют n (n > 2) величин x₁, x₂,…, xₙ₋₁, xₙ. В этом случае у n — 1 величин x₁, x₂,…, xₙ₋₁ известны по два значения a₁, a₂, b₁, b₂,…, l₁, l₂, а у xₙ известно только одно значение k₁, другое — k₂ подлежит определению. Практически сложное Т. п. представляет собой последовательное применение простого Т. п.
📘 Теория
Прямая пропорциональность
Если $A$ растёт → $B$ растёт во столько же раз.
Пример: 3 кг = 150 ₽, 5 кг = $\frac{150 \cdot 5}{3} = 250$ ₽
Обратная пропорциональность
Если $A$ растёт → $B$ уменьшается во столько же раз.
Пример: 6 рабочих = 4 дня, 8 рабочих = $\frac{6 \cdot 4}{8} = 3$ дня
— Обе величины растут/падают вместе → прямая.
— Одна растёт, другая падает → обратная.
✍️ Практика
📏 Ткань
5 м — 800 ₽. Сколько стоят 7 м?
⛽ Бензин
12 л на 100 км. Сколько на 350 км?
👷 Работа
4 рабочих — 15 дней. За сколько 6 рабочих?
🚲 Скорость
12 км/ч — 3 ч. Сколько времени при 18 км/ч?
🧮 Калькулятор
Прямая: $x = \frac{b \cdot c}{a}$
Обратная: $x = \frac{a \cdot b}{c}$
🌍 Примеры из жизни
🔑 Алгоритм
- Определи тип: прямая (обе растут) или обратная (одна растёт → другая падает).
- Запиши: $a \to b$, $c \to x$.
- Примени формулу:
- Прямая: $x = \frac{b \cdot c}{a}$
- Обратная: $x = \frac{a \cdot b}{c}$
- Вычисли и проверь на правдоподобность.
Дополнительно
В древней Индии с помощью тройного правила решались разнообразные задачи, связанные с пропорциями и взаимосвязями трёх величин. Основные типы таких задач включали:
- Задачи на нахождение неизвестного числа по пропорции из трёх известных величин, то есть вычисление четвёртого пропорционального (задачи вида «Если A соответствует B, то чему будет соответствовать C?»).
- Арифметические задачи на пропорциональное деление и распределение.
- Задачи с использованием простого (прямого) и сложного (обратного) тройного правила для вычисления величин, связанных обратной или прямой пропорциональностью.
- Задачи на проценты, прогрессии, включая вычисления сложных процентов.
- Геометрические и практические задачи, например, связанные с делением имущества, вычислением частей в строительных и землемерных работах.
- Алгебраические задачи на уравнения с пропорциональными величинами, которые позволяли находить неизвестные значения через пропорции.
- Задачи на тригонометрию и астрономию с применением пропорциональных вычислений.
Эти задачи встречаются в произведениях таких учёных, как Ариабхата, Брахмагупта, Махавира, Бхаскара II и других, и часто имели как практическое, так и обучающее значение. Задачи на тройное правило могли быть как прикладными, для решения реальных ситуаций, так и абстрактными, для тренировок и демонстрации мастерства в арифметике.
Прямое тройное правило (линейная зависимость)
Прямое — если величины прямо пропорциональны (при увеличении одной вторая тоже увеличивается).
Задача из «Лиливати» Бхаскары II (XII в.):
«Если 5 драгоценных камней стоят 100 монет, сколько монет нужно за 12 таких камней?»
Решение:
- Записываем данные в столбец
- 5 камней — 100 монет
- 12 камней — ?
- Умножаем крест-накрест и делим на оставшееся число: x=12×100/5=240 монет
Правило Бхаскары:
«Умножь желаемое число на известный результат и раздели на исходное число».
Обратное тройное правило (обратная зависимость)
Обратное — если величины обратно пропорциональны (при увеличении одной вторая уменьшается).
Задача Махавиры (IX в.):
«Если 6 рабочих строят стену за 18 дней, за сколько дней 9 рабочих построят ту же стену?»
Решение:
- Понимаем, что зависимость обратная (больше рабочих → меньше времени).
- Записываем:
- 6 рабочих — 18 дней
- 9 рабочих — ?
- Умножаем исходные значения и делим на новое: x=6×18/9=12 дней
Правило Махавиры:
«При обратной пропорции поменяй местами второй и третий члены».
Решения задач со сложным тройным правилом основаны на последовательном применении простого тройного правила к нескольким величинам, связанным между собой прямыми или обратными пропорциональностями.
Пример 1
4 человека косят 6 гектаров за 15 часов. Сколько человек нужно, чтобы скосить 8 гектаров за 40 часов?
применим сложное тройное правило, учитывающее три величины: количество человек, площадь работы и время.
Шаг 1. Запишем данные:
| Величина | Исходные данные | Новые данные |
|---|---|---|
| Количество человек | 4 | x (нужно найти) |
| Площадь (гектары) | 6 | 8 |
| Время (часы) | 15 | 40 |
Шаг 2. Определяем тип зависимости каждой величины с искомой
- Количество человек и площадь — прямая пропорция (чем больше площадь, тем больше работников нужно).
- Количество человек и время — обратная пропорция (чем больше времени, тем меньше работников нужно).
Шаг 3. Составляем формулу по сложному тройному правилу
Искомое количество человек xx определяем так: x=4×8×15/6×40
где:
- 4 — исходное количество человек,
- 8 — новая площадь (прямая пропорция, множим на новую площадь),
- 15 — исходное время (обратная пропорция, множим на исходное время),
- 6 — исходная площадь,
- 40 — новое время.
Шаг 4. Вычисления
x=4×8×15/6×40=480/240=2
Ответ: для того чтобы скосить 8 гектаров за 40 часов, нужно 2 человека.
Это классический пример решения задачи с помощью сложного тройного правила, где учитываются сразу несколько пропорциональных зависимостей (прямая и обратная).
Пример 2
Первая бригада из 15 человек работала 18 дней и заработала 97200 рублей. Вторая бригада из 12 человек работала 25 дней. Сколько заработала вторая бригада?
Решение:
| Величина | Бригада 1 | Бригада 2 | Тип пропорции |
|---|---|---|---|
| Рабочих | 15 | 12 | прямая |
| Дней работы | 18 | 25 | прямая |
| Зарплата (руб.) | 97200 | x | ищем |
Формула:
x=97200×25×12/18×15=97200×300/270=108000
Ответ: вторая бригада заработала 108000 рублей.