Метод замены переменной — это универсальный приём, который позволяет преобразовать сложное уравнение в более простое квадратное.
Суть метода: найти повторяющееся выражение в уравнении, обозначить его новой переменной, решить получившееся квадратное уравнение, а затем вернуться к исходной переменной.
🔹 1. Общий алгоритм
🎯 Суть метода
Находим повторяющееся выражение \(g(x)\), заменяем на \(t\) → получаем квадратное уравнение \(at^2+bt+c=0\).
📋 По шагам
- Ищем \(g(x)\) (повторяется)
- Замена \(t = g(x)\), записываем ОДЗ для \(t\)
- Решаем \(at^2+bt+c=0\)
- Оставляем \(t\), подходящие под ОДЗ
- Возврат: \(g(x)=t\) → находим \(x\)
- Проверка (по желанию)
⚠️ Ограничения для t:
\(x^2 \ge 0,\; \sqrt{x}\ge 0,\; a^x>0,\; \sin x\in[-1,1],\; \log x \in \mathbb{R}\)
🔹 2. Биквадратные \(ax^4+bx^2+c=0\)
$$t = x^2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad a t^2 + b t + c = 0$$
✏️ Пример: \(x^4-5x^2+4=0\)
- \(t=x^2\ge0\): \(t^2-5t+4=0\)
- \(t=1\) или \(t=4\) (оба ≥0)
- \(x^2=1 \Rightarrow x=\pm1\); \(x^2=4 \Rightarrow x=\pm2\)
- Ответ: \(\pm1,\pm2\)
1
\(x^4-13x^2+36=0\)\(\pm2,\pm3\)
2
\(2x^4-18x^2+16=0\)\(\pm1,\pm2\sqrt{2}\)
3
\(x^4+7x^2-8=0\)\(\pm1\)
🔹 3. С квадратными корнями
\(t = \sqrt{x}\ge0,\; x=t^2\)
✏️ Пример: \(x-3\sqrt{x}+2=0\)
- ОДЗ: \(x\ge0\)
- \(t=\sqrt{x}\ge0\): \(t^2-3t+2=0\)
- \(t=1\) или \(t=2\)
- \(x=1^2=1,\; x=2^2=4\)
- Ответ: \(1,4\)
6
\(x+\sqrt{x}-6=0\)\(4\)
7
\(x-6\sqrt{x}+8=0\)\(4,16\)
🔹 4. Показательные \(a\cdot b^{2x}+c\cdot b^x+d=0\)
\(t = b^x >0\)
✏️ Пример: \(4^x-5\cdot2^x+4=0\)
- \(4^x=(2^x)^2\) → \(t=2^x>0\)
- \(t^2-5t+4=0\) → \(t=1,4\)
- \(2^x=1\Rightarrow x=0\); \(2^x=4\Rightarrow x=2\)
11
\(9^x-10\cdot3^x+9=0\)\(0,2\)
12
\(25^x-6\cdot5^x+5=0\)\(0,1\)
🔹 5. Тригонометрические
\(t = \sin x \in [-1,1]\) (или \(\cos x\))
✏️ Пример: \(2\sin^2x-3\sin x+1=0\)
- \(t=\sin x,\; -1\le t\le1\)
- \(2t^2-3t+1=0\) → \(t=1,\; t=0.5\)
- \(\sin x=1 \Rightarrow x=\frac\pi2+2\pi n\)
- \(\sin x=0.5 \Rightarrow x=\frac\pi6+2\pi n,\; \frac{5\pi}{6}+2\pi n\)
16
\(\sin^2x-\sin x=0\)\(\pi n,\; \frac\pi2+2\pi n\)
17
\(2\cos^2x-3\cos x+1=0\)\(2\pi n,\; \pm\frac\pi3+2\pi n\)
🔹 6. Логарифмические
\(t = \log_a x \;(x>0)\)
✏️ Пример: \(\log_2^2 x -4\log_2 x +3=0\)
- ОДЗ: \(x>0\)
- \(t=\log_2 x\): \(t^2-4t+3=0\)
- \(t=1 \Rightarrow x=2\); \(t=3 \Rightarrow x=8\)
21
\(\log_3^2 x - \log_3 x -2=0\)\(\frac13,\;9\)
22
\(\lg^2 x -3\lg x+2=0\)\(10,\;100\)
🔹 7. Взаимно обратные
\(y + \frac1y = k \;\Rightarrow\; y^2 - ky +1=0\)
✏️ Пример: \(\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x}=\frac{10}{3}\)
- ОДЗ: \(x\neq0,-2\)
- \(y=\frac{x}{x+2}\): \(y+\frac1y=\frac{10}{3}\)
- \(3y^2-10y+3=0\) → \(y=3,\; y=\frac13\)
- \(\frac{x}{x+2}=3 \Rightarrow x=-3\)
- \(\frac{x}{x+2}=\frac13 \Rightarrow x=1\)
26
\(\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{10}{3}\)\(2,\;-2\)
⚠️ 8. Типичные ошибки
- Забывают ОДЗ для новой переменной \(t\)
- Не проверяют, подходит ли \(t\) под ограничения
- Пропускают обратную замену (\(t \to x\))
- Забывают \(\pm\) при \(x^2 = t\)
- В тригонометрии — теряют серии решений
💡 Всегда записывайте ОДЗ до замены и после возврата проверяйте, входит ли \(x\) в область определения.
💪 9. Практика (10 задач)
1
\(x^4-13x^2+36=0\)\(t=x^2\): \(t^2-13t+36=0\) → \(t=4,9\) → \(x=\pm2,\pm3\)
2
\(x+\sqrt{x}-6=0\)\(t=\sqrt{x}\ge0\): \(t^2+t-6=0\) → \(t=2\) → \(x=4\)
3
\(9^x-10\cdot3^x+9=0\)\(t=3^x>0\): \(t^2-10t+9=0\) → \(t=1,9\) → \(x=0,2\)
4
\(2\sin^2x-3\sin x+1=0\)\(t=\sin x\): \(2t^2-3t+1=0\) → \(t=1,\frac12\) → \(x=\frac\pi2+2\pi n,\; \frac\pi6+2\pi n,\; \frac{5\pi}{6}+2\pi n\)
5
\(\log_2^2 x -4\log_2 x+3=0\)\(t=\log_2 x\): \(t^2-4t+3=0\) → \(t=1,3\) → \(x=2,8\)
6
\((x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0\)\(t=x^2+x\): \(t^2-8t+12=0\) → \(t=2,6\) → \(x=-2,1,-3,2\)
7
\(x^{2/3}-3x^{1/3}+2=0\)\(t=x^{1/3}\): \(t^2-3t+2=0\) → \(t=1,2\) → \(x=1,8\)
8
\(2\cos^2x-3\cos x+1=0\)\(t=\cos x\): \(2t^2-3t+1=0\) → \(t=1,\frac12\) → \(x=2\pi n,\; \pm\frac\pi3+2\pi n\)
9
\(25^x-6\cdot5^x+5=0\)\(t=5^x>0\): \(t^2-6t+5=0\) → \(t=1,5\) → \(x=0,1\)
10
\(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=\frac{5}{2}\)\(y=\frac{x}{x+1}\): \(y+\frac1y=\frac52\) → \(2y^2-5y+2=0\) → \(y=2,\frac12\) → \(x=-2,1\)