Интерактивный справочник с формулами приведения и знаками тригонометрических функций
Знаки тригонометрических функций
| Четверть | Угол α | Радианы | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I | 0° < α < 90° | 0 < α < π/2 | + | + | + | + |
| II | 90° < α < 180° | π/2 < α < π | + | – | – | – |
| III | 180° < α < 270° | π < α < 3π/2 | – | – | + | + |
| IV | 270° < α < 360° | 3π/2 < α < 2π | – | + | – | – |
| Граничные значения: | 0, +, 0, – | +, 0, –, 0 | 0, ∞, 0, ∞ | ∞, 0, ∞, 0 | ||
Положительный (+)
Отрицательный (–)
Ноль (0)
Не определено (∞)
+X
-X
+Y
-Y
α
I четверть
+
II четверть
+
III четверть
–
IV четверть
–
α = 45° (I четверть)
sin α
+
cos α
+
tan α
+
cot α
+
Формулы приведения
Формулы приведения — это тригонометрические формулы, позволяющие выразить значения тригонометрических функций через значения в первой четверти.
📋 Алгоритм:
Шаг 1. Проверка формы угла:
- Угол должен быть представлен в виде nπ/2 ± α
- где n = 0, 1, 2, 3
Шаг 2. Определение необходимости смены функции:
- Если n - нечетное (π/2 ± α, 3π/2 ± α и тд) — меняем функцию: sin ↔ cos, tan ↔ cot
- Если n - четное (π ± α, 2π ± α, тд) — функция не изменяется.
Шаг 3. Определение знака:
- Определяем четверть, в которой находится угол
- Ставим знак, соответствующий знаку функции в этой четверти
sin(π/2 ± α)
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha \]
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha \]
I/II чверти → +cos α
sin(π ± α)
\[ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha \]
\[ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha \]
II ч. → +sin α, III ч. → -sin α
sin(3π/2 ± α)
\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha \]
\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha \]
III/IV чверти → -cos α
sin(2π ± α)
\[ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha \]
\[ \sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha \]
IV ч. → -sin α, I ч. → +sin α
📚 Примеры:
sin 150°: 180°-30° = π-α → II ч. → sin 30° = 1/2
cos 225°: 180°+45° = π+α → III ч. → -cos 45° = -√2/2
tan 300°: 360°-60° = 2π-α → IV ч. → -tan 60° = -√3